Niveau maths spé

La puissance électrique d'un filtre

Posté par
Ea1 03-11-17 à 12:50

Bonne journée,

Je viens de montrer que P d'un filtre = à 12.Re(u.i*)
P est une puissance moyenne gagnée par un dipôle d'impédance complexe Z et parcouru par un courant i d'amplitude I_m (de valeur efficace I), la tension à ses bornes étant u d'amplitude u_m( de valeur efficace U).

Ce qui me pose problème est l'expression de i*(que représente-elle plus précisément?)
Pourquoi a-t-on pris le réel de l'expression u.i* et non pas son module?

Merci de m'aider à comprendre ceci.

Posté par re : La puissance électrique d'un filtre 03-11-17 à 14:23

Bonjour
Cela traîne logiquement dans tous les cours. Je veux bien te faire vite fait la démonstration. Pour un dipôle récepteur orienté en convention récepteur, les valeurs instantanées de la tension et de l'intensité sont :

$u=U_{m}.\cos\left(\omega t\right)\quad;\quad i=I_{m}.\cos\left(\omega t-\varphi\right)$

Complexes associés :

$\underline{u}=U_{m}.e^{j\omega t}\quad;\quad\underline{i}=I_{m}.e^{j\left(\omega t-\varphi\right)}$

On définit alors la puissance complexe reçue :

$\underline{p}=\frac{1}{2}\underline{u}\cdot\underline{i}^{*}$

où $\underline{i}^{*}$ représente le conjugué du complexe associé à i. Ainsi :

$\underline{p}=\frac{1}{2}U_{m}.e^{j\omega t}\cdot I_{m}.e^{-j\left(\omega t-\varphi\right)}=U_{e}\cdot I_{e}\cdot e^{j\varphi}=U_{e}\cdot I_{e}\cdot\cos\left(\varphi\right)+j\cdot U_{e}\cdot I_{e}\cdot\sin\left(\varphi\right)$

L'indice “e” correspond aux valeurs efficaces. Ainsi, la puissance moyenne reçue (appelée aussi puissance active) est la partie réelle de la puissance complexe. La partie imaginaire représente la puissance réactive reçue mais elle n'est peut-être pas à ton programme...

Posté par re : La puissance électrique d'un filtre 03-11-17 à 14:39

Merci pour ce résonnement assez précis.

D'ailleurs, on peut noter que p(t)=i(t).u(t) soit l'expression par défaut de la puissance p(t)?

Quelle est la signification physique de la grandeur 'puissance réactive'?Ses application en électronique et à quoi sert-elle?

Posté par re : La puissance électrique d'un filtre 03-11-17 à 15:50

Il est préférable de faire intervenir le (1/2) à cause de la relation entre valeur maximale et valeur efficace en régime sinusoïdal :

$\frac{1}{2}U_{m}.I_{m}=\frac{1}{2}\left(U_{e}.\sqrt{2}\right)\left(I_{e}.\sqrt{2}\right)=U_{e}.I_{e}$
Cela permet très simplement de déduire de la puissance complexe les puissances active (moyenne)P et réactive Q :

$\frac{1}{2}U_{m}.I_{m}=\frac{1}{2}\left(U_{e}.\sqrt{2}\right)\left(I_{e}.\sqrt{2}\right)=U_{e}.I_{e}$

$P=\Re(\underline{p})\quad;\quad Q=\Im\left(\underline{p}\right)$

Les mesures de la puissance active et de la puissance réactive permettent de déterminer le déphasage entre u et i ainsi que le facteur de puissance $\cos\left(\varphi\right)$ dont tu as dû étudier l'importance pratique :

$\tan\left(\varphi\right)=\frac{Q}{P}\quad;\quad\cos\left(\varphi\right)=\frac{P}{\sqrt{P^{2}+Q^{2}}}$

Autre utilisation : écrire que la puissance complexe reçue par un circuit quelconque est la somme des puissances complexes reçues par les dipoles du circuit permet d'énoncer un résultat connu sous le nom de théorème de Boucherot : la puissance moyenne reçue par une association de dipôles est la somme des puissances moyennes reçues par chacun des dipôles ; la puissance réactive reçue par une association de dipôles est la somme des puissances réactives reçues par chacun des dipôles. Écrire ces deux égalités permet de résoudre pas mal de problèmes en électrotechnique. Cette méthode est peu enseignée en études scientifiques générales car l'utilisation directe des complexes est souvent plus efficace.

Posté par re : La puissance électrique d'un filtre 03-11-17 à 20:21

Par définition, on écrit: P=1Tp(t)dt tel que p(t) soit la puissance instantanée du dipôle étudié et T la période.

En procédant à p(t)=u(t).i(i), il me sera très difficile de trouver la relation à démontrer.

Une seule question qui se pose, quelle est l'expression admise de la puissance électrique moyenne qu'on peut utiliser sans aucun problème?
Merci

Posté par re : La puissance électrique d'un filtre 03-11-17 à 23:33

La puissance moyenne reçue vaut, par définition, en régime sinusoïdal :

$P=\frac{1}{T}\int_{to}^{to+T}p(t).dt=\frac{1}{T}\int_{to}^{to+T}u(t).i(t).dt=\frac{U_{m}I_{m}}{T}\int_{to}^{to+T}\cos\left(\omega t\right).\cos\left(\omega t-\varphi\right).dt$

$P=\frac{U_{m}I_{m}}{2T}\int_{to}^{to+T}\left[\cos\left(\varphi\right)+\cos\left(2\omega t-\varphi\right)\right].dt=\frac{U_{e}I_{e}}{T}\int_{to}^{to+T}\cos\left(\varphi\right).dt+\frac{U_{e}I_{e}}{T}\int_{to}^{to+T}\cos\left(2\omega t-\varphi\right).dt$
(je ne détaille pas les calculs d'intégrales...
$P=U_{e}.I_{e}.\cos\left(\varphi\right)$

Sauf si l'énoncé demande explicitement de faire la démonstration ci-dessus, tu peux utiliser la relation précédente pour la puissance moyenne.

La notion de puissance complexe ne permet pas de démontrer l'expression générale de la puissance moyenne. Cependant, lorsque tu étudies une association de dipôles un peu compliquée en utilisant les impédances complexes, il est souvent intéressant de déterminer la puissance complexe puis d'écrire : $P=\Re(\underline{p})$ . Les deux formules peuvent donc être utilisées en régime sinusoïdal. S'il est assez simple de trouver le facteur de puissance $\cos\left(\varphi\right)$ , autant utiliser la relation démontrée ci-dessus ; sinon : passer par la puissance complexe. Tout dépend du contexte ! Souvent d'ailleurs, l'énoncé donne une indication sur la méthode la plus efficace.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

La puissance électrique d'un filtre

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique