Niveau maths sup

La phase.

Posté par
Minineutron 01-03-10 à 16:42

bonjour, j'aurais une question:

quand on calcule la phase initiale d'une grandeur physique, donc quand on a : phi= Arg(../..), et que l'argument du numérateur est nul (donc on a un réel), et donc phi= -arg(..).

Doit-on considérer cosphi ou sinphi pour connaître le domaine de définition de phi?

Dans un exercice, on considère sinphi, qui est forcément négatif, et donc phi appartient à [-pi,0], dans un autre, on considère cosphi qui est positif, donc phi appartient à [-pi/2,pi/2].... Je m'y perds?

Merci bien

Posté par re : La phase. 01-03-10 à 22:19

Bonsoir,
Sur un exemple, ce serait sûrement plus clair...
Pourquoi le sinus serait-il forcément négatif ? Parce que l'angle est - arg(..) ?
= - arg(..)
Si arg(..) est négatif ?

Pour déterminer , il faut le cos et le sin.

Posté par re : La phase. 02-03-10 à 18:15

Le sinus est forcément négatif, parce que la partie imaginaire est négative.
Donc si le sinus est négatif, on a phi qui appartient à [-pi,0], or le cosinus est positif, phi devrait appartenir à [-pi/2,0]. Sauf qu'on me dit que le cosinus appartient à [-pi/2,pi/2], ce qui est incohérent avec le fait que le sinus est négatif

Posté par re : La phase. 03-03-10 à 13:28

Oui, si le sinus est négatif, il y a deux possibilités pour l'angle et c'est le cosinus qui permet de choisir...

Citation :
Sauf qu'on me dit que le cosinus appartient à [-pi/2,pi/2], ce qui est incohérent avec le fait que le sinus est négatif

Je suis d'accord...
Mais, sans l'exemple, je ne peux pas en dire plus...

Posté par re : La phase. 04-03-10 à 10:59

Voici deux exemples:

= Arg( $F_0$ /((w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w)).
Donc en passant à la tangente, on a bien le sinus qu'est négatif, et le cosinus qui est positif. Si on ne considère pas le cosinus, mais qu'on prend juste plusieurs valeurs particulières pour w, on a bien qui appartient à [-/2,/2]. Sauf qu'il est dit que appartient à cet intervalle parce que la partie réelle est positive, donc que le cosinus est positif... mais le sinus est négatif?

Posté par re : La phase. 04-03-10 à 14:23

z = a + ib

Si a > 0 et b >= 0, Phi est dans le premier quadrant et donc dans [0 ; Pi/2[
Si a > 0 et b <= 0, Phi est dans le 4ème quadrant et donc dans ]-Pi/2 ; 0]
Si a < 0 et b >= 0, Phi est dans le 2ème quadrant et donc dans ]Pi/2 ; Pi]
Si a < 0 et b <= 0, Phi est dans le 3ème quadrant et donc dans [-Pi ; -Pi/2[

Si a = 0 et b > 0, Phi = Pi/2
Si a = 0 et b < 0, Phi = -Pi/2
Si a = 0 et b = 0, Phi n'est pas déterminé.
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arg(z1/z2) = arg(z1) - arg(z2)
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arg(z1*z2) = arg(z1) + arg(z2)
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Dans l'exercice proposé:
z = (z1/z2) avec z1 = Fo et z2 = (w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w)

arg(z) = arg(z1) - arg(z2) = arg(Fo) - arg((w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w))

Si Fo est un réel positif (on est dans le cas a > 0 et b = 0) : arg(Fo) = 0
Si Fo est un réel négatif (on est dans le cas a < 0 et b = 0) : arg(Fo) = Pi (ou -Pi, c'est pareil)

arg((w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w))
wo/Q > 0, on est donc dans un cas avec a > 0
Si w0(w/w0 - w0/w) > 0, alors b > 0 et arg((w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w)) est dans ]0;Pi/2[
Si w0(w/w0 - w0/w) < 0, alors b < 0 et arg((w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w)) est dans ]-Pi/2 ; 0[
Si w0(w/w0 - w0/w) = 0, alors b = 0 et arg((w0/Q)+jw0(w/w0 - w0/w)) = Pi/2

En fonction des différents cas (signes de Fo et de (w/w0 - w0/w)), on peut donc trouver l'intervalle dans lequel se trouve l'arg(z)

Tous les angles en mod(2Pi)
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Sauf distraction.

Posté par re : La phase. 04-03-10 à 21:32

$3$\varphi\,=\,arg\Bigg(\frac{f_0}{\frac{\omega_0}{Q}\,+\,j\omega_0(\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega_0}{\omega})}\Bigg)\,=\,arg\Bigg(\frac{\frac{1}{2\pi}}{\frac{1}{Q}\,+\,j(\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega_0}{\omega})}\Bigg)$

$3$\varphi\,=\,\varphi _N\,-\,\varphi _D$

$3$\varphi _N\,=\,0\,\Rightarrow\,\varphi\,=\,-\varphi_D$
$3$tan\,\varphi _D\,=\,Q\,(\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega_0}{\omega})\,=\,Q\,\Big(\frac{\omega^2\,-\,\omega_0^2}{\omega\,\omega_0}\Big)$
$3$tan\,\varphi _D\,\ge\,0\,\Rightarrow\,\omega\,\ge\,\omega_0$
$3$\omega\rightarrow 0\,\Rightarrow\,tan\,\varphi _D\rightarrow -\infty\,\Rightarrow\,\,\varphi _D\rightarrow -\frac{\pi}{2}\,\Rightarrow\,\,\varphi\rightarrow +\frac{\pi}{2}$
$3$\omega\,=\,\omega_0\,\Rightarrow\,tan\,\varphi _D\,=\,0\,\Rightarrow\,\,\varphi _D\,=\,0\,\Rightarrow\,\,\varphi\,=\,0$
$3$\omega\rightarrow +\infty\,\Rightarrow\,tan\,\varphi _D\rightarrow +\infty\,\Rightarrow\,\,\varphi _D\rightarrow +\frac{\pi}{2}\,\Rightarrow\,\,\varphi\rightarrow -\frac{\pi}{2}$

Maintenant, avec le cosinus et le sinus :
Le module du dénominateur   $3$|D|\,=\,sqrt{\frac{1}{Q^2}\,+\,\Big(\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega_0}{\omega}\Big)^2}\,=\,sqrt{\frac{1}{Q^2}\,+\,\Big(\frac{\omega^2\,-\,\omega_0^2}{\omega\,\omega_0}\Big)^2}$
Donc
$3$cos\,\varphi _D\,=\,\frac{\frac{1}{Q}}{|D|}\,>\,0$

$3$sin\,\varphi _D\,=\,\frac{\Big(\frac{\omega}{\omega_0}\,-\,\frac{\omega_0}{\omega}\Big)}{|D|}\,=\,\frac{\Big(\frac{\omega^2\,-\,\omega_0^2}{\omega\,\omega_0}\Big)}{|D|}$

$3$sin\,\varphi _D\,\ge\,0\,\Rightarrow\,\omega\,\ge\,\omega_0$
Donc le sinus n'est pas toujours négatif
$3$\omega\rightarrow 0\,\Rightarrow\,sin\,\varphi _D\,\rightarrow\,\frac{-\,\frac{\omega_0}{\omega}}{\--\,\frac{\omega_0}{\omega}\-}\,=\,-1\,\Rightarrow\,\varphi _D\rightarrow\,-\frac{\pi}{2}\,\Rightarrow\,\varphi\rightarrow\,+\frac{\pi}{2}$
$3$\omega\,=\,\omega_0\,\Rightarrow\,sin\,\varphi _D\,=\,0\,\Rightarrow\,\varphi _D\,=\,0\,\Rightarrow\,\varphi\,=\,0$
$3$\omega\rightarrow \infty\,\Rightarrow\,sin\,\varphi _D\,\rightarrow\,\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{\-\frac{\omega}{\omega_0}\-}\,=\,1\,\Rightarrow\,\varphi _D\rightarrow\,\frac{\pi}{2}\,\Rightarrow\,\varphi\rightarrow\,-\frac{\pi}{2}$

Donc   $3$\varphi\,\in\,[-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}]$