Niveau maths sup

Interférence

Posté par
Capucine 27-11-15 à 19:54

Bonsoir.
Je suis parvenue à je pense rédiger les 2 premières questions, mais je ne parviens pas bien à formuler une réponse pour la troisième.
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Enoncé:
2 hauts-parleurs émettant en phase sont situés à 2 mètres de distance (axe Oy) tel que celui du bas (H1) soit en (0,0). Un auditeur se place à 3,75m de H1 sur l'axe des abscisses (soit en A = (3,75 , 0)), et on suppose que l'amplitude des signaux reçus en ce point A est la même.
1) quelles sont les fréquences dans l'audible (20Hz à 20kHz) pour lesquelles le signal est max?
2) même question mais pour un signal nul.
3)Si la fréquence est de 400Hz, combien de fois entendra-t-il un minimum en se rapprochant de H1 le long de (Ox)?

Voilà ma réponse à 1)
Si signal max en A, alors interférence constructive et la différence de marche est donnée par   $\delta = (r_2 - r_1) = n \lambda$ .

On a $r_2=\sqrt{2^2 + 3,75^2} = 4,25$     d'où     $\delta = 0,5 = \frac{1}{2}$

On déduit   $\frac{1}{2}=n\lambda \Longrightarrow \lambda = \frac{1}{2n}$     puis avec   $f = \frac{c}{\lambda}$    on déduit que     $f_n= 2nc$     avec   $n\geq 1$

Dès lors, la fréquence la plus basse (ou longueur onde la plus élevée, ou ordre de marche le plus bas) pour laquelle l'amplitude en A est max est donc   $f_1 = 2c = 680Hz$

Il reste à chercher   $f_n$    telle que     $680\leq 2nc \leq 20000$

Je trouve 29 fréquence comprises entre 680 et 19720 Hz

Pour la 2, même raisonnement pour   $\delta = (n+\frac{1}{2})\lambda$     soient 28 fréquences de 340 à 19 380Hz.

Merci pour vos indications concernant la 3ème question.

Posté par re : Interférence 27-11-15 à 20:17

Bonsoir,
D'accord avec toi pour les deux premières questions. Attention tout de même à ne pas oublier les unités parfois.
Pour la question 3 : si tu notes a = 2m la distance entre les deux haut-parleurs et x l'abscisse du détecteur sur l'axe des abscisses, la différence de marche entre les deux ondes s'écrit :
$\delta=\sqrt{x^{2}+a^{2}}-x$
Compte tenu de ce que tu as déjà été capable de faire, tu devrais pouvoir finir !

Posté par re : Interférence 30-11-15 à 13:19

Bonjour Vanoise.

Une petite pause durant ce week-end.
Pour la 3ème question, on a   $\lambda=\frac{c}{f}=\frac{340}{400}=0,85m$
Il se produit un minimum quand   $\delta=(n+\frac{1}{2})\lambda$   soit quand     $\sqrt{x^2+4}-x = (n+\frac{1}{2})*0,85$

J'obtiens   $x=\frac{(0,85n-\frac {3,15}{2})^2}{2}$ et 6 valeurs qui conviennent pour n allant de 0 à 5.

Merci à nouveau pour votre disponibilité.
Je vous souhaite une bonne journée.

Posté par re : Interférence 30-11-15 à 18:31

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr du tout de ton calcul... Essaie de le refaire...
Le raisonnement sur les cas limites permet de comprendre pourquoi ton résultat est faux.
la valeur maximale de est obtenue en x = 0 :
_max=2m
$\left(n+\frac{1}{2}\right)\leq\frac{\delta_{max}}{\lambda}=\frac{2}{0,85}\approx2,35$
La valeur minimale de est obtenue en x = 3,75m :
_min=0,5m
$\left(n+\frac{1}{2}\right)\geq\frac{\delta_{min}}{\lambda}=\frac{0,5}{0,85}\approx0,58$
On obtient donc le long de l'axe seulement deux minima : l'un correspondant à n = 0, l'autre correspondant à n =1.

Posté par re : Interférence 30-11-15 à 19:04

Je viens de commettre une étourderie :
puisque : (n+0,5) est compris entre 0,58 et 2,35, la seule valeur qui convienne est n = 1. La valeur n = 0 ne convient pas !
Toutes mes excuses !

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