Niveau maths spé

Interaction d'une spire et d'un aimant

Posté par
Tiilt 01-03-10 à 17:06

Bonjour à tous,

Mon exercice concerne la force subie par un aimant de moment magnétique M se déplaçant sur l'axe d'une spire à la vitesse V. L'expression de la force que je trouve est différente de celle du prof, mais je n'arrive pas à trouver ce qui cloche dans ma démarche. J'aimerais donc faire appel à votre aide, voici l'énoncé et ce que j'ai fais jusqu'ici :

Soit une spire de rayon R, de centre O, d'axe x'Ox. En un point A de l'axe, on place un petit aimant dont le moment magnétique $\vec{M}$ est colinéaire à x'Ox et de même sens. On posera $\overline{OA}$ =x. Soit la résistance de la spire, on néglige l'inductance propre de la spire ainsi que les courants induits dans l'aimant. On déplace l'aimant avec une vitesse V. Calculer la force F subie par celui-ci en fonction de x.

Voilà comment j'ai procédé :

On connait l'expression du potentiel vecteur crée par l'aimant en M avec $\vec{AM}=\vec{r}$

$\vec{A(M)}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\vec{M} \wedge \vec{r}}{r^{3}}$

Donc en tout point de la spire :

$\vec{A(M)}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}M\frac{R}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}\vec{e_{\theta}}$

La circulation de $\vec{A}$ sur la spire est égale au flux de $\vec{B}$ à travers la spire donc la force électromotrice e induite dans la spire par le dépacement de l'aimant vaut :

$e=\oint_{Spire} -{\partial\over\partial t}\vec{A}\, dl$

donc

$e=\frac{3}{2}\mu_{0}R^{2}M\dot{x}\frac{x}{(R^{2}+x^{2})^{5/2}}$ après dérivation, simplification par Pi etc...

Or $\dot{x}$ ("x point") = V et d'après la Loi d'Ohm e=I, l'intensité du courant dans la spire vaut donc :

$I=\frac{3}{2\rho}\mu_{0}R^{2}MV\frac{x}{(R^{2}+x^{2})^{5/2}}$

On sait qu'une spire parcourue par I crée sur son axe un champ B égal à :

$\vec{B(x)}=\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}\vec{e_{x}$

D'où en utilisant l'expression désormais connue de I :

$\vec{B(x)}=\frac{3}{4\rho}\mu_{0}^{2}R^{4}MV\frac{x}{(R^{2}+x^{2})^{4}}$

Enfin pour trouver la force, j'utilise la formule F = grad(M.B) mais je ne sais pas si on peut l'utiliser ici étant donné que B dépend de t, peut-être en faisant une approximation ? L'énoncé ne dit rien là dessus.

En dérivant le terme M.B(x) par rapport à x je trouve après simplifications :

$F(x)=\frac{3}{4\rho}\mu_{0}^{2}R^{4}M^{2}V\frac{R^{2}-7x^{2}}{(R^{2}+x^{2})^{5}}$

Le prof donne lui comme réponse

$F(x)=-\frac{9}{4\rho}\mu_{0}^{2}R^{4}M^{2}V\frac{x^{2}}{(R^{2}+x^{2})^{5}}$

Les deux expressions sont bien homogènes, la mienne me parait effectivement fausse car le travail de la force deviendrait moteur à proximité de la spire, je ne sais pas où est l'erreur cependant.

Merci d'avoir pris le temps de lire mon message, votre aide est la bienvenue !

Tiilt

Posté par re : Interaction d'une spire et d'un aimant 04-03-10 à 00:31

up si quelqu'un peut seulement m'indiquer si il est correct d'employer F=grad(M.B) dans ce cas merci

Posté par re : Interaction d'une spire et d'un aimant 04-03-10 à 12:25

Ton développement me semble correct.

Seulement, à un instant $t$ donné, le champ magnétique créé par la spire existe en tout point de l'espace : ce sont les variations spatiales de ce champ à cet instant précis qui nous intéressent pour exprimer la force agissant sur l'aimant.

Autrement dit :

Le courant $I(x)$ circulant dans la spire, qui dépend de la position $x$ de l'aimant, produit un champ $\vec{B}(x')$ en un point d'abscisse $x'$ situé sur l'axe de la spire.

Si l'on applique la formule $\vec{F}=\vec{\nabla}\left(\vec{{\mathcal M}}.\vec{B}(x')\right)$ on se retrouve donc à calculer $M\frac{\partial B(x')}{\partial x'}$ .

Ce n'est qu'ensuite que l'on vient évaluer cette quantité en $x$ , soit au niveau de l'aimant...

L'expression de $F(x)$ s'écrit donc en réalité $F(x)=M\left.\frac{\partial B(x')}{\partial x'}\right|_{x'=x}$