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Intégration pour obtenir un durée

Posté par
Wimengo 25-02-15 à 17:48

Bonjour,

Voilà j'ai une résolution d'intégrale à réaliser seulement entre ce que me donne l'énoncé et ce que je trouve il y a comme un gouffre.

\beta+t=\int\frac{E+\frac{\alpha}{r}}{c^{2}\sqrt{\frac{1}{c^{2}}(E+\frac{\alpha}{r})^{2}-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}r^{2}}-m^{2}c^{2}}}dr

Je sépare le numérateur, obtient deux intégrales à calculer, une évidente et une autre où il faut utiliser :

\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+ax}}=ln[2\sqrt{x^{2}+ax}+2x+a]

J'arrive à faire apparaitre le ln, mais je ne vois pas comment l'autre est une intégrale évidente.

De plus on me donne r à l'instant initial : r=r0 pour le calcul. Car la finalité est de faire apparaitre un \Delta t mais comment faire apparaitre cela. Je n'intègre pas sur le temps.

Merci de votre aide

Posté par
PirholicenceIntégration pour obtenir un durée 25-02-15 à 23:05

Bonsoir,

En réduisant au même dénominateur et en sortant c2 du radical, on a, sous le radical, au dénominateur

(E+\dfrac{\alpha}{r})^2-\dfrac{\alpha^2}{r^2}-m^2c^4

E^2+2E\dfrac{\alpha}{r}+(\dfrac{\alpha}{r})^2-(\dfrac{\alpha}{r})^2-m^2c^4

Il faudrait continuer. Tu vas obtenir deux termes au dénominateur ce qui te permettra d'obtenir deux intégrales.

J'essayerai de continuer demain mais pas avant 18 heures.

Si tu as d'autres résultats tu peux les poster.

Posté par
PirhoIntégration pour obtenir un durée 25-02-15 à 23:21

Sorry, je ne multiplie pas le dernier terme par r2 mais uniquement par c2

Posté par
PirhoIntégration pour obtenir un durée 26-02-15 à 07:48

Bonjour,

Finalement je suis arrivé, ce matin, à 2 intégrales qui doivent se résoudre sans poser de problème.

A tantôt après 18h.

Posté par
Wimengore : Intégration pour obtenir un durée 26-02-15 à 11:47

Bonjour, j'obtiens deux intégrales aussi,

\frac{E}{c}\int\frac{dr}{\sqrt{E^{2}+2E\frac{\alpha}{r}-m^{2}c^{4}}} + \frac{\alpha}{c}\int\frac{dr}{\sqrt{r^{2}+\frac{2E\alpha r}{E^{2}-m^{2}c^{4}}}}

Autant la deuxième peut-être intégrer avec le ln mais pour l'autre je ne vois pas pourquoi elle est si évidente

Posté par
Wimengore : Intégration pour obtenir un durée 26-02-15 à 15:58

Il manque un facteur devant la seconde intégrale

\frac{1}{\sqrt{E^{2}-m^{2}c^{4}}}

Posté par
PirhoIntégration pour obtenir un durée 26-02-15 à 20:14

Bonsoir,

Voilà les calculs de la 1ère intégrale.

Posons~~ a = E^2-m^2c^4~~,b=2\alpha E

\dfrac{E}{c}\int\dfrac{dr}{\sqrt{E^{2}+2\dfrac{\alpha E}{r}-m^{2}c^{4}}}=\dfrac{E}{c}\int\dfrac{\sqrt{r}dr}{\sqrt{ar+b}}

Posons~~\sqrt{ar+b}=x~~\red(1)

\dfrac{adr}{2\sqrt{ar+b}}=dx

\dfrac{dr}{\sqrt{ar+b}}=\dfrac{2}{a}dx

\sqrt{r}=\dfrac{\sqrt{x^2-b}}{\sqrt{a}}

\dfrac{2E}{ca\sqrt{a}}\int\sqrt{x^2-b}~ dx

Posons ~~\sqrt{x^2-b}=-x+y~~~~y=x+\sqrt{x^2-b}~\red(2)

x^2-b=x^2-2xy+y^2

x=\dfrac{y^2+b}{2y}

dx=\dfrac{2y2y-(y^2+b)2}{4y^2}dy

dx=\dfrac{y^2-b}{2y^2}dy

\sqrt{x^2-b}=-\dfrac{y^2+b}{2y}+y=\dfrac{y^2-b}{2y}

\dfrac{2E}{a\sqrt{a}c}\int(\dfrac{y^2-b}{2y}\times\dfrac{y^2-b}{2y^2})dy

\dfrac{E}{2a\sqrt{a}c}\int(y-\dfrac{2b}{y}+\dfrac{b^2}{y^3})dy

\dfrac{E}{2a\sqrt{a}c}(\dfrac{y^2}{2}-2\ln|y|-\dfrac{b^2}{2y^2})+ K~~\red(3)

Il faut injecter (2) dans (3) et remplacer x en tenant compte de (1)

J'espère qu'il n'y a pas trop de bug dans le développement

P.S. je suppose que pour la deuxième intégrale çà ira.

Posté par
PirhoIntégration pour obtenir un durée 27-02-15 à 14:23

Bonjour,

J'ai continué à phosphorer sur l'intégrale.

On aurait pu calculer sans sortir r du dénominateur

\dfrac{E}{c}\int\dfrac{dr}{\sqrt{a+\dfrac{b}{r}}}

Et poser le dénominateur = x.

On gagne quelques lignes de calculs.

Posté par
Wimengore : Intégration pour obtenir un durée 27-02-15 à 16:25

Bonjour,

Du coup j'ai essayé avec vos premières explications et je trouve un résultat qui semble correcte donc je vous remercie grandement de votre aide.

Posté par
PirhoIntégration pour obtenir un durée 27-02-15 à 17:07

Bonjour,

De rien. Peut-être à une prochaine fois


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