Niveau école ingénieur

integration d'un bilan thermique sur la portiondu fluide x.dx

Posté par
vitali 17-01-18 à 22:23

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider à trouver comment on integre une equation du bilan thermique d'un fluide situé entre x et x+dx. au depart on a

m° * c * dT= (T fluide - t air) / R et on obtiens en l'integrant T(x)= Tfluide + (T air - Tfluide)*esp(-x/(Rm°c) .

merci beaucoup car je ne vois pas du tout comment faire. en faite c'est pour trouver la temperature d'un liquide qui circule dans un cylindre au bout d'une certaine distance . m°- debit massique kg/s^-1, c- capacité thermique massique

Posté par re : integration d'un bilan thermique sur la portiondu fluide x. 17-01-18 à 22:38

Bonsoir
Je me demande si tu ne commets pas une confusion. Ce que tu appelles T(x) me semble désigner la température du fluide à l' abscisse x et ce que tu appelles T(fluide ) me semble désigner la température du fluide à l'abscisse x=0. Est-ce cela ?

Posté par re : integration d'un bilan thermique sur la portiondu fluide x. 17-01-18 à 22:47

oui oui c ca

Posté par re : integration d'un bilan thermique sur la portiondu fluide x. 17-01-18 à 22:48

t fluide c'est la température du fluide qui est transporté dans un cylindre

Posté par re : integration d'un bilan thermique sur la portiondu fluide x. 17-01-18 à 23:53

Il faut appliquer le premier principe de la thermo au système ouvert constitué de la “tranche” de fluide comprise entre les abscisses x et (x+dx). Je note T la température du fluide à l'abscisse x et (T+dT) la température du fluide à l'abscisse (x+dx). Le premier principe précise que le produit du débit massique m° par la variation d'enthalpie massique : (c.dT) est égale à la puissance thermique reçue par la tranche de fluide. Cette puissance est négative car perdue si le fluide est plus chaud que l'air ambiant extérieur. Elle est le produit de l'écart de température (T - Tair) par la conductance thermique de la tranche de canalisation : G.dx où G désigne la conductance thermique linéique c'est à dire la conductance par unité de longueur de canalisation. Cela donne :

$m^{o}.c.dT=-G.dx.\left(T-T_{air}\right)$
soit :

$\frac{m^{o}.c}{G}\cdot\frac{dT}{dx}+T=T_{air}$
Tu obtiens une équation différentielle du premier ordre comme tu en as sûrement résolues en math. La solution est la somme de deux termes :
1° : la solution particulière correspondant au cas particulier $\frac{dT}{dx}=0$ :

$T_{p}=T_{air}$
2° : la solution de l'équation avec membre de droite nul. Il s'agit d'une équation du type
a.y'+y=0 que tu as appris à résoudre en math :

$T_{h}=K.\exp\left(-\frac{G}{m^{o}.c}\cdot x\right)\quad avec\quad K:constante$
Solution générale :

$T=T_{p}+T_{h}=T_{air}+K.\exp\left(-\frac{G}{m^{o}.c}\cdot x\right)$

On obtient la constante K en considérant qu'à l'entrée dans la canalisation en x = 0, la température du fluide vaut : $T_{fluide}$ .

$T_{fluide}=T_{air}+K\quad donc\quad K=T_{fluide}-T_{air}$

Au final :

$\boxed{T=T_{air}+\left(T_{fluide}-T_{air}\right)\cdot\exp\left(-\frac{G}{m^{o}.c}\cdot x\right)}$

Rien n'empêche bien sur de poser : $R=\frac{1}{G}$ mais attention : R n'est pas la résistance linéique pour la bonne raison que, si la conductance thermique est proportionnelle à la longueur, ce qui permet de définir une conductance linéique, la résistance n'est pas proportionnelle à la longueur ; parler de résistance linéique n'aurait pas de sens.
Si j'ai bien compris l'énoncé : un liquide chaud qui sort d'un réservoir à la température $T_{fluide}>T_{air}$ et qui s'écoule dans une canalisation située dans l'air, la formule que tu proposes n'as pas de sens physique pour deux raisons :

1° : en x= 0 : $T=T_{fluide}$ ; ce n'est pas le cas avec ta formule ;

2° : si la canalisation est très longue, le liquide doit finir par atteindre la température de l'air :

$\lim_{x\rightarrow\infty}T=T_{air}$ ; ce n'est pas le cas avec ta formule.

Tout cela sous réserve bien sûr d'avoir correctement interprété l'énoncé qui, tel que tu l'as posté, est loin d'être clair !