Niveau maths sup

Intégrale, potentiel électrostatique

Posté par
alexyuc 10-04-13 à 15:05

Bonjour,

Je bloque complètement sur le calcul du potentiel électrostatique d'une boule... Pourriez-vous m'expliquer où est l'erreur, je pense, dans l'intégrale pour calculer V(r) en fonction de E, mais pourquoi ?

Je considère une boule de centre O, de rayon R et de charge volumique uniforme $\rho$

Je cherche le potentiel électrostatique de la boule.

$E(r) = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}$ si r > R

$E(r) = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ si r < R

D'où

$V(r) = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r}$ si r > R (relation juste d'après le corrigé

car $V(r) = - \int\limits_{0}^r E(r) dr$ ?

$V(r) = \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}$ si r < R

car $V(r) = - \int\limits_{0}^R E(r) dr$ non ?

La dernière relation est fausse : on trouve normalement $\frac{\rho}{2\epsilon_0}(R^2 - \frac{r^2}{3})$

Comment cela est possible ? Pourriez-vous m'expliquer comment l'intégrale est faite ici ?

Merci pour vos réponses !

Posté par re : Intégrale, potentiel électrostatique 10-04-13 à 15:18

$\large E(r\leq R)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}=-\frac{dV}{dr}$

donc :

$\\ \large-\int_{V(r)}^{V(R)}dV=\int_r^R\frac{\rho r'}{3\varepsilon_0}dr'$

$\large V(r)=V(R)+\frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0}-\frac{\rho r^2}{6\varepsilon_0}$

Par continuité du potentiel, $\large V(R)=\frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$

Posté par re : Intégrale, potentiel électrostatique 10-04-13 à 15:22

Attention une remarque :

la quantité $-\int_0^RE(r)dr$ ne dépend pas de $r$ , c'est une constante. Si tu la redérives, tu va tomber sur un champ électrique nul donc, ce qui n'est pas le cas.

Je n'ai pas intégré entre 0 et r car on n'a aucune information sur V(0). Par contre on connait V(R) par continuité de V (V est continu car il est dérivable). Donc on intègre entre r et R.

Posté par re : Intégrale, potentiel électrostatique 10-04-13 à 15:25

Ah merci ! Mais voilà ce que je ne comprends pas alors,

Pourquoi V(R) est égal à ça, par continuité du potentiel comme vous dites ?

Posté par re : Intégrale, potentiel électrostatique 10-04-13 à 15:32

Ah j'ai compris, je fais l'égalité entre V(r=R) qu'on vient de trouver pour r < R et V(r=R) qu'on a trouvé précédemment pour r > R...

Merci beaucoup pour cette aide précieuse !! ^^ cela faisait des heures que je cherchais !

Posté par re : Intégrale, potentiel électrostatique 10-04-13 à 15:43

Oui les deux expressions que tu obtiens, c'est par l'une pour r<R et l'autre pour r>R

mais l'une pour rR et l'autre pour rR .