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Intégrale curviligne

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azer44170 22-07-20 à 16:24

Bonjour,
Dans mon cours sur les intégrales multiples et curvilignes, il y a un seul exemple sur les intégrales curvilignes, que je ne comprends pas.
On cherche à calculer le centre d'inertie de l'arc de cercle, pour x>0 et y>0, tel que : (x-2)^2+(y-1)^2=5
Réponse : x_G=\frac{\rho _{lin}\int xdl}{\rho _{lin}\int dl} =\frac{\int _{0} ^{\frac{\pi }{2}}\rho\cos \theta \sqrt {(\rho ')^2+ \rho ^2}d\theta } {\pi \sqrt 5}
Je ne comprends pas comment on trouve la première égalité. Aussi, je ne comprends pas pourquoi au dénominateur on a directement remplacé dl par sa valeur mais pas au numérateur. Après, le reste, je pense avoir compris : on a remplacé dl par la formule de la longueur d'un arc de courbe et x par sa valeur en polaires.
PS : je ne sais pas ce que représente l'indice lin pour \rho . Merci d'avance, si quelqu'un a compris, ça fait longtemps que je cherche et je ne trouve rien sur Internet

Posté par
azer44170re : Intégrale curviligne 22-07-20 à 16:26

Pour dl c'est bon, on a calculé \int dl = L. Par contre, pour la première égalité, je ne vois pas l'idée « géométrique » et « intuitive » qu'il y a derrière.

Posté par
vanoisere : Intégrale curviligne 22-07-20 à 16:36

Bonjour
L'auteur de la correction fait la différence entre la masse linéique et la coordonnée polaire .
Pour la racine carrée, il s'agit d'exprimer la longueur élémentaire en coordonnées polaires. Connais-tu l'expression du vecteur déplacement élémentaire dl en coordonnées polaires ?

Posté par
azer44170re : Intégrale curviligne 22-07-20 à 16:54

Ah d'accord ! C'est la masse linéique, je ne savais même pas que ça se disait comme ça.
Oui \vec{dM} = \rho d\theta \vec {e_{\theta}}
D'accord donc après il a multiplié en haut et en bas par d\theta et fait entrer un 1/d\theta ^2 dans la racine. Je crois que c'est ça. Merci beaucoup !

Posté par
vanoisere : Intégrale curviligne 22-07-20 à 17:48

Dans le cas général :

\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{dOM}=d\rho.\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho.d\theta.\overrightarrow{e_{\theta}}

Avec : \rho=f\left(\theta\right) : d\rho=f'\left(\theta\right).d\theta

ce qui peut aussi se noter :
\\ d\rho=\rho'.d\theta

dl=\Vert\overrightarrow{dl}\Vert=\sqrt{d\rho^{2}+\left(\rho.d\theta\right)^{2}}=\sqrt{\left(\rho'\right)^{2}+\rho^{2}}\cdot d\theta

Dans le cas d'un cercle ou d'un arc de cercle comme ici, sous réserve de choisir l'origine du repère au centre du cercle ou de l'arc de cercle, \rho=R quel que soit \theta, donc :

dl=R.d\theta

Attention : ta dernière phrase n'a pas de sens : tu as deux intégrales distinctes, une au numérateur, l'autre au dénominateur. Celle au dénominateur correspond tout simplement au demi périmètre.

Autre remarque : le centre du demi cercle étudié n'est pas l'origine du repère. Si tu veux avoir \rho'=0 et dl=R.d\theta, il faut faire un changement de repère mais tu as le corrigé sous les yeux apparemment...

Posté par
azer44170re : Intégrale curviligne 22-07-20 à 18:55

Oui c'est vrai, vous avez raison. C'était surtout la masse linéique que je ne comprenais pas . Merci beaucoup !
Je donne la fin de la correction si jamais ça peut aider :

x^2 -2x+4+y^2-2y+1=5
x = \rho \cos \theta et y = \rho \sin \theta
\rho = 4 \cos \theta + 2 \sin \theta
D'après ce qui a déjà été écrit plus haut :
x_G = \frac{1}{\pi \sqrt 5}\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} ( 4 \cos \theta + 2 \sin \theta )\cos \theta \sqrt {20} d\theta
= \frac {2(\pi +1)}{\pi}
De même :
y_G = \frac {\pi+4}{\pi}

Posté par
vanoisere : Intégrale curviligne 22-07-20 à 21:13

C'est bien cela en effet !

Posté par
azer44170re : Intégrale curviligne 23-07-20 à 21:28

Enfaite, je suis désolé, mais en le refaisant moi-même je m'aperçois que je ne comprends pas pourquoi \int dl=\pi\sqrt 5 alors que \sqrt {(\rho')+\rho^2}=\sqrt {20}. On devrait trouver la même longueur d'arc non ??
Et moi je ne trouve absolument pas \sqrt {20} mais une expression très compliquée (en l'occurrence \rho'\neq 0. J'ai calculé à partir de \rho=4\cos \theta+2\sin \theta.

Aussi, je voulais en profiter pour une rapide question, je ne sais pas si ça peut se faire comme ça ici, c'est pour le centre d'inertie d'un cône de révolution :
On choisit l'axe (Ox) descendant vers la base pour l'axe des abscisses, avec O le sommet du cône de révolution.
x_G=\frac {\int\int \int xdV}{\int\int \int dV}= \\ \frac {\int_0^h x\pi rx^2dx}{\int_0 ^h \pi rx^2dx}= \\ \frac {\pi\frac {R^2}{h^2}\int_0^h x^3dx}{\pi\frac {R^2}{h^2}\int_0^h x^2dx}= \\ \frac {\int_0^h x^3dx}{\int_0^h x^2dx}=\frac 34h
Je ne comprends absolument pas le passage de la deuxième à la troisième égalité (le passage de l'intégrale triple à l'intégrale simple). L'aire d'un disque est πr^2 ...
Merci d'avance.

Posté par
vanoisere : Intégrale curviligne 23-07-20 à 22:59

Citation :
On devrait trouver la même longueur d'arc non ??

Pas de problème a priori ; je pense que tu oublis d'intégrer par rapport à .

dl=\Vert\overrightarrow{dl}\Vert=\sqrt{d\rho^{2}+\left(\rho.d\theta\right)^{2}}=\sqrt{\left(\rho'\right)^{2}+\rho^{2}}\cdot d\theta=\sqrt{20}.d\theta

La longueur de l'arc de cercle (en fait ici un demi cercle) vaut :

l=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{20}.d\theta=2\sqrt{5}\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.\sqrt{5}

On obtient bien le demi périmètre.
Citation :
Et moi je ne trouve absolument pas \sqrt {20}

Je veux bien faire le calcul avec toi. Comme déjà dit, puisque l'origine O du repère n'est pas le centre du cercle, tu as effectivement \rho'\neq0.

\rho=4\cos\theta+2\sin\theta

\rho'=\frac{d\rho}{d\theta}=-4\sin\left(\theta\right)+2\cos\left(\theta\right)

\left(\rho'\right)^{2}+\rho^{2}=16\sin^{2}\left(\theta\right)+4\sin^{2}\left(\theta\right)+16\cos\left(\theta\right).\sin\left(\theta\right)+16\sin^{2}\left(\theta\right)+4\sin^{2}\left(\theta\right)-16\cos\left(\theta\right).\sin\left(\theta\right)=20
Citation :
c'est pour le centre d'inertie d'un cône de révolution :

Concernant le cône : le rayon r de la tranche élémentaire contenu entre les plans d'abscisses x et (x+dx) est une fonction affine de x : r=a.x+b.

Sachant que :
r=0 en x=0 ; r=R en x=h ;
tu obtiens facilement :

r=\frac{R}{h}\cdot x

Tu devrais pouvoir te débrouiller avec cela mais pose des questions complémentaires si tu le juges utile.

Posté par
vanoisere : Intégrale curviligne 23-07-20 à 23:48

Un "copier-coller" malencontreux à remplacer certains cosinus au carré par des sinus au carré. Je corrige :

\left(\rho'\right)^{2}+\rho^{2}=16\sin^{2}\left(\theta\right)+4\cos^{2}\left(\theta\right)-16\cos\left(\theta\right).\sin\left(\theta\right)+16\cos^{2}\left(\theta\right)+4\sin^{2}\left(\theta\right)+16\cos\left(\theta\right).\sin\left(\theta\right)=20

Posté par
azer44170re : Intégrale curviligne 24-07-20 à 10:26

Oui vous avez raison. En effet, en factorisant on trouve 20. Je ne savais pas que la partie au numérateur était la partie de l'arc de cercle "non intégrée" et celle au dénominateur celle intégrée.
Pour le cône de révolution
Du coup, pour moi il aurait dû écrire :
x_G= \frac {\int\int \int xdxdxdy}{\int\int \int dxdydz}= \frac {\int\int \int xdS}{\int\int \int dxdS}= \frac {\int_0^h xdx\pi r^2}{\int_0 ^h dx\pi r^2}= \frac {\int_0^h xdx\pi \frac {R^2}{h^2}x^2}{\int_0 ^h dx\pi \frac {R^2}{h^2}x^2}= \frac {\pi\frac {R^2}{h^2}\int_0^h x^3dx}{\pi\frac {R^2}{h^2}\int_0 ^h x^2dx}= \frac {\int_0^h x^3dx}{\int_0 ^h x^2dx}= \frac {3}{4}h

Il y a peut-être une erreur dans la ligne 2 (de mon ancien post). Et je ne sais pas si j'ai le droit d'écrire cela comme ça, mathématiquement parlant.

Posté par
vanoisere : Intégrale curviligne 24-07-20 à 12:03

Citation :
Je ne savais pas que la partie au numérateur était la partie de l'arc de cercle "non intégrée" et celle au dénominateur celle intégrée.


Je ne comprends pas bien cette phrase. Dans le cas d'un solide quelconque (S), le centre d'inertie G a pour abscisse :

x_{G}=\frac{\iiint_{S}x.dm}{\iiint_{S}dm}=\frac{\iiint_{S}x.dm}{M_{S}} (MS : masse du solide)

Si le solide est homogène, il est possible de sortir la masse volumique de chacune des deux intégrales puis de simplifier :

x_{G}=\frac{\iiint_{S}x.dV}{\iiint_{S}dV}=\frac{\iiint_{S}x.dV}{V_{S}} (VS : volume du solide)

Lorsque le solide présente suffisamment de symétries, il est souvent possible de se ramener à une intégrale simple en découpant astucieusement le solide. Pour le cône, on le découpe en tranches perpendiculaires à l'axe des x ; une tranche étant comprise entre les abscisses x et (x+dx), son épaisseur est dx et son rayon a la valeur r étudiée précédemment. Le volume élémentaire de cette tranche élémentaire est : dV=\pi.r^{2}.dx . Cela donne donc :

x_{G}=\frac{\iiint_{S}x.dV}{\iiint_{S}dV}=\frac{\int_{0}^{h}\pi.r^{2}.x.dx}{\int_{0}^{h}\pi.r^{2}.dx}=...

Tu connais la suite... comme tu l'as écrit, il y a donc bien une erreur dans ton corrigé. Simple faute de frappe sans doute car la suite est correcte. Cependant, il te faut corriger la deuxième intégrale de ta dernière ligne : les « dS » n'ont pas de sens...

Posté par
azer44170re : Intégrale curviligne 24-07-20 à 13:09

Oui excusez-moi je me suis un peu mélangé les pinceaux. Je parlais de l'arc de cercle pour ma première question qui concernait le centre d'inertie du cercle avec l'intégrale curviligne.

Pour le cône, je trouvais cela bizarre en effet de mettre dS. Je viens de le refaire tout seul et je crois que c'est bon, j'ai compris. Merci beaucoup pour vos réponses détaillées et merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre


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