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intégralde cos² = intégrale de sin²

Posté par
Forever2812v
24-07-17 à 17:16

Bonjour,
Je m'intéresse actuellement à des cours de physique que j'ai eus l'année dernière. Je n'arrive pas à comprendre un détail dans une démonstration sur la formule de l'intensité comme quoi on peut écrire que cos² = sin²
on a cos²x + sin²x = 1
on intègre cette expression entre 0 et t pour les besoins de la démonstration
  cos²x + sin²x = 1
entre 0 et t (le temps t) toujours pour les 3  parties de l'équation

Pour l'intégrale de sin²x j'ai trouvé que
cos(2x) = cos²x - sin² x
sin(2x) = 2sinxcosx
et cos² x + sin²x = 1

sin²x = 1- cos²x   et cos² x = cos(2x) + sin²x
sin² x = 1 - cos(2x) - sin² x
2 sin²x = 1- cos(2x)
sin²x = (1 - cos (2x))/2 à partir de là on peut intégrer  et on trouve comme fonction primitive F(x) = x/2 - ( sin(2x) )/4


pour cos² x c'est plus compliqué
sin²x = 1-cos² x
cos (2x) = cos²x - sin² x
sin²x = cos²x - cos (2x)

1-cos²x = cos²x -cos (2x)
-2 cos²x = -1-cos (2x)
2cos²x = cos(2x) + 1
cos²x = (cos(2x))/2 + 1/2 à partir de là on intègre et je trouve

cos²x c'est la fonction F(x) = (sin (2x))/4 + x/2

les primitives ne sont pas identiques il y a un signe moins pour sin² et pas pour cos². Donc je ne comprends pas comment on peut dire que les intégrales entre 0 et t sont les mêmes ? Est ce qu'il faut se référer  à l'aire sous la courbe qui peut être égale alors graphiquement et cela suffit à affirmer que l'intégrale de cos² = l'intégrale de sin² ?

merci d'avance
c'est une démo sur l'intensité et la partie où j'ai du mal c'est pour trouver la vitesse on utilise la dérivé de g par rapport au temps (ça ça va) et après on met le tout au carré sauf qu'il faut mettre le cos au carré et qu'on prend la valeur moyenne. On nous démontre que la valeur moyenne de la fonction cos² c'est 1/2 mais avec la formule de la valeur moyenne je n'arriverai par à la retrouver par exemple entre 0 et t mais en faisant un changement de variable peut être que si ?
                  

Posté par
vanoise
re : intégralde cos² = intégrale de sin² 24-07-17 à 18:20

Bonjour

Il s'agit sans doute de démonter que la valeur moyenne sur une période d'un sinus au carré est égale à la valeur moyenne sur une période du cosinus au carré, cette valeur moyenne valant 1/2.

M_{1}=\frac{1}{T}.\intop_{t_{1}}^{t_{1}+T}\sin^{2}\left(\omega.t+\varphi\right).dt=\frac{1}{T}.\intop_{t_{1}}^{t_{1}+T}\left[\frac{1}{2}-\frac{\cos\left(2\omega t+2\varphi\right)}{2}\right].dt=\frac{1}{2}-\left[\frac{\sin\left(2\omega t+2\varphi\right)}{4\omega T}\right]_{t_{1}}^{t_{1}+T}
 \\ 
 \\ M_{1}=\frac{1}{2}+\frac{\sin\left(2\omega t_{1}+2\varphi\right)-\sin\left(2\omega t_{1}+4\pi+2\varphi\right)}{4\omega T}=\frac{1}{2}

puisque \omega.T=2\pi .

Je te laisse faire la démonstration pour le cosinus au carré. Certes les primitives sont différentes mais la valeur moyenne sur une période est nulle aussi bien pour \cos\left(2\omega t+2\varphi\right) que pour \sin\left(2\omega t+2\varphi\right)

Je te laisse réfléchir à tout cela...

Posté par
Forever2812v
re : intégralde cos² = intégrale de sin² 24-07-17 à 19:22

Merci de m'avoir répondu
Alors j'ai à peu près compris le raisonnement et pour cos² je vois ce qu'il faut faire. Malgré tout il me reste une question :
  pour la démonstration j'ai juste pas trop compris comment vous avez simplifié à la fin quand on fait sin(a)-sin(b) ? Comment on fait pour tout annuler de l'expression peut etre ai-je oublié une règle de calcul mais du coup je ne comprends pas :/  (c'est juste la dernière étape)

Voilà encore merci merci

Posté par
vanoise
re : intégralde cos² = intégrale de sin² 24-07-17 à 19:43

Il faut bien avoir en tête que les résultats que tu évoques ne sont valides que si les valeurs moyennes sont calculées sur une durée égale à une période ou à une durée égale à un multiple d'une période. Puisque .T=2, il suffit de remarquer : sin(x)=sin(x+2.n.) où n est un nombre entier.
Dans la démonstration de la valeur moyenne du cosinus au carré, tu sera amené à remarquer : cos(x)=cos(x+2.n.)...



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