Bonsoir
La première expression que tu fournis ne correspond pas à un solénoïde de longueur infinie : si tu fais tendre l vers l'infini dans ta formule, tu obtiens L qui tend vers zéro ! L'expression de L que tu indiques correspond à l'inductance propre d'un tronçon de longueur l d'un solénoïde supposé infiniment long.

Tu fournis ensuite l'expression de B le long de l'axe d'un solénoïde réel de longueur l. Si l'origine de l'axe (O,z) est choisie au centre du solénoïde, l'expression de B que tu fournis doit être multipliée par une valeur Bo :



Il y a aussi une faute de signe...

Il faut d'abord calculer le flux propre , c'est à dire le flux de B à travers ce solénoïde puis poser :



On commence par s'intéresser à une tranche élémentaire de solénoïde compris entre les plans de cote z et (z+dz). Cette tranche possède spires. Si on fait l'approximation que le champ magnétique a même valeur en tout point de cette tranche, cette valeur étant celle sur l'axe donnée par la formule précédente, le flux propre à travers cette tranche vaut :



Je te laisse intégrer et exprimer L...

D'accord en effet c'est plus logique que ce soit l'inductance propre d'une portion de solénoïde supposé infini (d'ailleurs j'ai rajouté "4"  dans mon expression il ne doit pas etre la, inattention entre surface d'un disque/sphère)

J'ai en effet coupé le B₀ en prenant la photo, l'erreur de signe doit être une erreur dans le sujet (l'expression de B était déjà établie)

Pour l'intégrale je pensais poser et donc se ramener à la forme

C'est le bonne voie ?

Merci encore

Bonne soirée

J'ai oublié de te signaler une erreur dans tes deux premières expressions : l'aire d'un disque de rayon r est (r²) et non (4r²).

Effectivement j'avais par inattention confondu sphère et disque

Je crois que nos messages se sont croisés

Utiliser le changement de variable pour se rapporter à est la bonne idée ?

Merci encore

Bonne idée effectivement !

Bonjour, en intégrant
je trouve
Ce qui donne 0

J'ai commis une erreur en intégrant ?

Merci encore

Bonne journée

Selon moi :


(à une constante près bien sûr !)

Effectivement, 'j'avais oublié le "-" devant la deuxième int&grale, ce qui avait pour conséquence de tout annuler

J'ai maintenant  

En faisant tendre l vers l'infini, avec un DL de la racine, je ne retrouve pas la meme expression que le solénoide infini, je ne vois pas trop pourquoi

Merci pour votre aide

Ton expression mérite d'être simplifiée mais me parait correcte. Relis bien mon premier message : La valeur de L indiquée dans ta première formule ne correspond pas à un solénoïde infiniment long mais à un tronçon de longueur l d'un solénoïde infiniment long. Il y a plus qu'une nuance ! Autre façon de dire les choses : c'est un solénoïde de longueur l dont on calcule la valeur de L de façon approchée en supposant le champ magnétique uniforme dans tout l'espace intérieur, ce champ magnétique uniforme ayant la valeur que créerait un solénoïde infiniment long.
L'expression de B sur l'axe, que je t'ai fournie pour le solénoïde de longueur l peut aussi s'écrire :


où ₁ et ₂ désignent les angles sous lesquels sont vues du point M de l'axe où on exprime B, les spires extrêmes gauche et droite du solénoïde.(figure ici :)
L'expression simplifiée de B est donc une approximation d'autant meilleure que les deux cosinus restent proches de 1 en tout point de l'axe. L'approximation est donc d'autant meilleure que r<<l. Utiliser la formule dite "du solénoïde infiniment long" ne suppose donc pas l très grand mais suppose l>>r ; ce n'est pas tout à fait la même chose.
Je te laisse réfléchir à cela et vérifier la cohérence du résultat obtenu pour L.

Je crois que l'énnoncé de notre exercice est mal concu de ce coté car il ne souligne pas la différence entre solénoide infini et solénoide fini considéré infini de sorte à avoir B uniforme

En considérant l>> r j'ai

D'où en approximant
On retrouve bien la formule d'un solénoide considéré infini si l >> r

C'est la manière de procéder ou il faut justifier "mathématiquement" les équivalences faites ?

Merci encore

Je me rérérépète :parler de l'inductance d'un solénoïde infini n'a pas de sens  : cette inductance tend nécessairement vers l'infini puisque l'inductance par unité de longueur est finie ! Il s'agit juste ici comme déjà dit, de calculer l'inductance d'un solénoïde de longueur l en utilisant pour valeur de B, la valeur créé par un solénoïde de longueur infinie... Comprends-tu la différence ?
Comme expliqué déjà, l'approximation est d'autant meilleure que les cosinus restent proches de l'unité tout le long de l'axe, ce qui nécessite r<<l mais reste tout de même une approximation : près d'une extrémité, pour r<<l, un cosinus est pratiquement égal à 1 mais l'autre tend vers zéro... Au niveau de la première et de la dernière spire, B a pour valeur seulement la moitié de la valeur créé par un solénoïde infiniment long...

Je crois que je saisis la différence :
soit on utilise le champ d'un solénoide infini, B = cste
soit on utilise le champ d'un solénoide fini, B = compliqué

Dans le but de calculer l'inductance du solénoide fini de longueur l

C'est ca ?

Merci pour vos explicitations

Parfait !