Niveau maths sup

Incompréhension de l'entropie

Posté par
EvDavid 21-06-17 à 17:18

Bonjour,

En révisant le chapitre du deuxième principe de la thermodynamique , j'ai trouvé deux remarques que je ne comprends pas :
1) Dans un système simple d'échanges thermiques entre 2 corps, l'entropie échangée par un corps correspond à l'opposé de la variation d'entropie de l'autre corps. En effet, écrire $dS_{1}=\delta S_{echangee}+\delta S_{creee}$ et $dS_{univers}=\delta S_{creee}$
$=dS_{1}+dS_{2}$ revient à écrire $\delta S_{echangee}=-dS_{2}$ "
On a simplifié les $\delta S_{creee}$ sans qu'ils soient égaux je ne vois pas comment cela est possible .
Pour la deuxième remarque elle concerne cet exemple :1mole d'un gaz parfait décrit le cycle réversible suivant : Partant d'un état P0,V0,T0 , le gaz est comprimé de manière isotherme jusqu'à létat de volume (V0)/2. Ensuite il subit une transformation isobare jusqu'à ce que son volume revienne à V0. Il suit ensuite une transformation isochore le ramenant dans l'état P0,V0,T0. La remarque dit que " pour décrire ce cycle de manière réversible , lors des transformations 2 et 3 il faut utiliser une infinité de sources de température comprises entre T0 et 2T0 ". Je ne vois pas pourquoi il faut utiliser des sources de chaleur, et surtout pourquoi seulement pour les transformations 2 et 3 et pas aussi la 1.

J'espère que quelqu'un pourra m'aider afin de mieux comprendre cette notion d'entropie.

Merci d'avance.

Posté par re : Incompréhension de l'entropie 21-06-17 à 18:10

Bonjour
Je répond pour l'instant à la question 1. Soit tu as mal compris soit ton professeur s'est un peu emmêlé les pinceaux : ce deuxième principe est un peu subtil...
Pour un système fermé quelconque tu as :

$dS=\delta S_{e}+\delta S_{c}$

avec :

$\delta S_{e}=\frac{\delta Q}{T_{e}}\quad;\quad\delta S_{c}\geq0$

Très important : Te est la température de la source extérieure avec laquelle s'effectue le transfert thermique. Sauf dans le cas limite de la réversibilité Te n'est pas la température T du corps. D'ailleurs très souvent, en cas de forte irréversibilité, le corps n'a pas une température identique en tout point : la température du corps n'est pas définie !
Pour la mise en contact thermique de deux corps de températures initiales différentes, il est possible de poser : $\delta Q_{1}+\delta Q_{2}=0$ si le processus est globalement adiabatique mais les deux entropies d'échange ne peuvent être calculées puisque les températures des deux corps ne sont pas définies entre l'instant de mise en contact et l'état final d'équilibre thermique.
Très important : l'entropie est une fonction d'état extensive : pour le système formé des deux corps, on peut écrire :
$dS=dS_{1}+dS_{2}$
mais surtout pas :
$\delta S_e=\delta S_{1e}+\delta S_{2e}$
pas plus que :
$\delta S_c=\delta S_{1c}+\delta S_{2c}$
Ici, tu peux seulement affirmer :
$dS=dS_{1}+dS_{2}=\delta S_c>0$

Posté par re : Incompréhension de l'entropie 21-06-17 à 19:43

Je réponds à la question 2. Je suppose le gaz enfermé dans un cylindre fermé par un piston mobile. Les parois sont bonnes conductrices de la chaleur.
Comment obtenir une compression isotherme réversible ? (évolution 1-2)
Le système doit être immergé dans un milieu de température extérieure Te=To fixe (thermostat).La compression doit être extrêmement lente. Entre chaque petit déplacement du piston pour diminuer le volume, il faut laisser le temps au gaz d'évacuer vers l'extérieur de la chaleur de façon que la température du gaz ne s'écarte jamais beaucoup de To (écart limité à un infiniment petit du premier ordre, pour être rigoureux) ; il faut savoir que les transferts thermiques sont toujours lents, même à travers un bon conducteur thermique comme un métal d'où l'extrême lenteur de la transformation.
Comment obtenir une dilatation isobare réversible ? (évolution 2-3)
Cette dilatation n'est pas adiabatique : il y a transfert thermique entre le gaz et le milieu extérieur ; comme précédemment la température entre le gaz et le milieu extérieur doit rester assimilable à un infiniment petit du premier ordre. Comme la température du gaz passe de To à 2To, il faut imaginer un très grand nombre de sources extérieures dont les températures sont comprises entre To et 2To où plus simple, placer le cylindre dans une enceinte de température réglable : on ajuste ainsi la température de l'enceinte de sorte qu'elle reste toujours extrêmement proche de la température du gaz.
Raisonnement analogue pour la transformation (3_1) mais il faut baisser progressivement la température de l'enceinte de 2To à To...

Posté par re : Incompréhension de l'entropie 21-06-17 à 19:51

A propos de la question 1) je te suggères un petit exercice très court qui te permettra d'approfondir ta compréhension du sujet...
Soit deux solides identiques : même masse m, même capacité calorifique massique c. Le solide n° 1 est à la température initiale T1, le solide n° 2 est à la température initiale T2 (différente de T1). Les deux solides sont mis en contact thermique dans une enceinte thermiquement isolée de sorte qu'il y a transfert thermique uniquement entre les deux solides.
1° : Température Tf d'équilibre thermique final ?
2° : Déterminer les variations d'entropie S₁ et S₂ des solides.
3° : justifier physiquement le signe de la somme S=S₁+S₂
Seulement si tu as le temps bien sûr !

Posté par re : Incompréhension de l'entropie 22-06-17 à 03:59

Bonsoir,

Merci pour vos réponses. J'ai taché de répondre à l'exercice :
1) En considérant le système constitué des deux solides, on a selon le premier principe : $\Delta U=0=\Delta U_{1}+\Delta U_{2}=\delta W_{1}+\delta Q_{1}+\delta W_{2}+\delta Q_{2}$ or ce sont des solides donc les variations de volume sont négligeables d'où : $\delta Q_{1}+\delta Q_{2} =0$ or pour une phase condensée on a : $\delta Q=mCdT$ donc on a : $mC(dT_{1}+dT_{2})=0$ donc $dT_{1}+dT_{2}=0$ càd : $T_{1}+T_{2}=K=T_{10}+T_{20}$ ( K est une constante )
Et on a pour le système isolé constitué des deux solides :dS_{systeme}=dS_{1}+dS_{2}[/tex] par extensivité de l'entropie or pour une phase condensée on a $dS=mC\frac{dT}{T}$ on a donc : $dS=mC(\frac{dT1}{T1}+\frac{dT2}{T2})$ or le système est isolé donc : $dS=Se+Sc=Sc$ ( Se=0 car pas d'échange thermique avec l'extérieur ) , donc $\frac{dT1}{T1}+\frac{dT2}{T2}\geq 0$ et à l'équilibre on a $dS=0$ ( entropie maximale ) càd : $T_{1}=T_{2}$ et dans la relation précédente on trouve que : $T_{f}=\frac{T_{10}+T_{20}}{2}$

2) S est une fonction d'état donc elle ne dépend pas du chemin suivi ; elle ne dépend que de l'état initial et de l'état final. On peut dire donc que : $\Delta S_{1}=\Delta S_{1reversible}=\int \frac{\delta Q}{T_{1}}=mC\int \frac{dT_{1}}{T_{1}}=mCln(\frac{Tf}{T10})$ de meme on trouve : $\Delta S_{2}=mCln(\frac{Tf}{T20})$

3) Puisque la transformation est irréversible ( on ne peut passer de deux solides de même températures à deux solides de températures T10 et T20 respectivement ) alors le signe de la somme est positif strictement.

Une petite question qui peut-être me permettra de comprendre la remarque de mon professeur : Si on 2 corps en échange thermique dans une enceinte isolée thermiquement ( ou tout seulement pas d'échange thermique avec l'extérieur ) , peut-on dire que l'entropie créée du corps 1 est égale à l'entropie créée du corps 2 est égale à l'entropie scréée du système : { corps 1 + corps 2 } . Car si oui on peut dire ceci : $dS_{1}+dS_{2}=\delta Se+\delta Sc$
avec Se = 0 et l'extensivité de l'entropie on obtient : $\delta S_{c}=dS_{1}+dS_{2}=\delta S_{e1}+\delta S_{c1}+dS_{2}$ si on a égalité des entropies créées pour le corps 1 et corps 2 et système isolé on aura alors : $\delta S_{e1}=-dS_{2}$

Merci d'avance

Posté par re : Incompréhension de l'entropie 22-06-17 à 15:08

Bravo ! tu as commis une petite maladresse de notation : pour une évolution élémentaire du système formé des deux solides, il faut écrire :

$dS=\delta Se+\delta Sc=\delta Sc>0$
Tu as oublié les "". Le reste est remarquable : tu as bien compris comment invoquer la notion de fonction d'état pour calculer une variation d'entropie pour une évolution irréversible. Dans ces conditions, je me permets d'approfondir un peu le sens physique du résultat. En remplaçant T_f par sa valeur en fonction de T1 et T2, ton résultat conduit à :

$\triangle S=m.c.\left[\ln\left(\frac{T_{1}+T_{2}}{2T_{1}}\right)+\ln\left(\frac{T_{1}+T_{2}}{2T_{2}}\right)\right]=m.c.\ln\left(\frac{\left[T_{1}+T_{2}\right]^{2}}{4T_{1}.T_{2}}\right)$

La différence entre le numérateur et le dénominateur vaut :

$D=\left[T_{1}+T_{2}\right]^{2}-4T_{1}.T_{2}=\left(T_{1}-T_{2}\right)^{2}\geq0$

Sauf dans le cas particulier $T_{1}=T_{2}$ qui correspond à l'absence d'échange thermique donc à une entropie constante, le numérateur est supérieur au dénominateur : le logarithme est positif : on obtient comme prévu une augmentation d'entropie. Une subtilité maintenant pour justifier l'écart de température “infiniment petit du premier ordre” dont j'ai parlé pour les transformations quasi statiques et réversibles. Je note $\varepsilon$ l'écart relatif de température en posant :

$T_{2}=T_{1}\cdot\left(1+\varepsilon\right)$

Ainsi :

$T_{1}+T_{2}=T_{1}.\left(2+\varepsilon\right)\quad;\quad4T_{1}T_{2}=4T_{1}^{2}.\left(1+\varepsilon\right) \\ \\ \triangle S=m.c.\ln\left(\frac{\left[T_{1}+T_{2}\right]^{2}}{4T_{1}.T_{2}}\right)=m.c.\ln\left(\frac{\left[2+\varepsilon\right]^{2}}{4\left[1+\varepsilon\right]}\right)$

Pour des températures voisines ( $\varepsilon$ proche de zéro),un développement limité de l'expression précédente au voisinage de $\varepsilon=0$ conduit à :

$\ln\left(\frac{\left[2+\varepsilon\right]^{2}}{4\left[1+\varepsilon\right]}\right)=\frac{\varepsilon^{2}}{4}-\frac{\varepsilon^{3}}{4}+o\left(\varepsilon^{4}\right)$

Pas de terme en $\varepsilon$ : Au premier ordre près en $\varepsilon$ on peut considérer $\triangle S=0$ ! C'est pour cette raison que, dans mes autres messages, j'ai écrit qu'une transformation quasi statique suppose un écart de température entre le système étudié et la source extérieure infiniment petit au premier ordre près.

Concernant ta dernière question : c'est gentil de ta part de vouloir sauver la mise à ton professeur mais : définitivement : non ! Si l'entropie est une grandeur extensive, ce n'est pas le cas de l'entropie d'échange et pas le cas de l'entropie créé. D'ailleurs, avant 1996 (environ...) on enseignait le second principe de la thermo en définissant l'entropie comme une fonction d'état extensive vérifiant l'inégalité :

$dS\geq\frac{\delta Q}{T_{e}}$

C'est en constatant les difficultés croissantes des étudiants à manipuler les inégalités, surtout quand elles concernent des quantités négatives, que les professeurs ont eu l'idée d'adopter dès le niveau (bac+1) la notation “inventée” par Ilya Prigogine pour étudier les systèmes chimiques hors équilibre.

Posté par re : Incompréhension de l'entropie 22-06-17 à 20:56

Bonsoir,

Je vous remercie énormément pour toute l'aide que vous m'avez apportée , ceci m'a grandement aidé dans la compréhension des notions de la thermodynamique.

Merci encore.

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