Niveau école ingénieur

Incertitudes relatives

Posté par
rikoko 31-10-09 à 17:32

bonjour, j'ai l'exercice suivant:

On considère le modèle du pendule simple idéale dont la période d'oscillation T a pour expression T = 2π Racine(l/g) où l est la longueur du pendule simple et g l'intensité de la pesanteur. le pendule d'une horloge a pour période T = 2.000s a une température téta = 20 degrés celsius en un lieu ou g = 9.80 m.s^-2.

et une question me pose problème:
"l'horloge est maintenant placée en lieu où g = 9.81 m.s^-2 à la température Téta'' = 15 degrés celsius. Calculer la période des oscillations. De quelle durée, avance ou retarde l'horloge au bout de 24H?

j'ai donc utilisé le théorème des incertitudes relatives

(∆T/T) = (1/2) (∆L / L) + (1/2)(∆g/g)
            = (1/2) (βl∆téta/l) + (1/2)(∆g/g)
            = (β∆téta / 2) + 1 / 1960                   avec β le coeff de dilatation linéaire : 10^-5 degré^-1
          = (10^-5 X 5)/2  + 1/1960
        ……. Etc et j'arrive a Delta T environ a -41s,  sauf que mon prof dans sa correction marque (∆T/T) = (1/2) (∆L / L) - (1/2)(∆g/g)   et arrive donc a Delta T environ -45s

Je ne comprends pas du tout d'où vient ce moins devant 1/2, si quelqu'un peut m'expliquer,
d'avance merci

Posté par re : Incertitudes relatives 31-10-09 à 20:36

et aussi selon les sources je trouve des définitions différentes de l'erreur absolue :
* valeur approchée - valeur réelle
* valeur exacte - résultat de la mesure (enfin celle ci était formulée par : différence entre la valeur exacte de la grandeur mesurée et le résultat de la mesure. Mais cela revient bien a ce que j'ai donné )

laquelle est exacte?

merci de prendre le temps de me répondre, mes partielles sont lundi

Posté par re : Incertitudes relatives 31-10-09 à 22:31

Bonsoir,
Ce n'est pas un calcul d'erreur relative.
On peut calculer l correspondant à 2 s et calculer la période qui correspond à g = 9,81 m.s^-2 et la température = 15°C.
Mais le même calcul peut être fait en calculant la différentielle de T.
Et on trouve : $\frac{dT}{T}\,=\,\frac{1}{2}\,\frac{dl}{l}\,-\,\frac{1}{2}\,\frac{dg}{g}\,$
(calcul sur demande)
Et en passant aux "deltas" :
$\frac{dT}{T}\,=\,\frac{1}{2}\,\frac{\Delta l}{l}\,-\,\frac{1}{2}\,\frac{\Delta g}{g}\,$

Posté par re : Incertitudes relatives 31-10-09 à 22:39

Pour l'erreur absolue, je dirais :
valeur mesurée - valeur réelle
Mais, par définition, on ne connaît pas la valeur réelle évidemment (sinon on n'a pas besoin d'erreur absolue ou relative). L'erreur absolue est une estimation de l'erreur que l'on commet sur la mesure.
La vraie valeur se trouve entre $m\,-\,\Delta m$ et $m\,+\,\Delta m$ , m étant une mesure.

Posté par re : Incertitudes relatives 01-11-09 à 00:23

Mais oui les differentielles! qu' on a assimilé aux petites variations g et l ! Je sais pas pourquoi j'etais parti dans les inceritudes .

En fait on considère une fontion T par exemple qui à l et g associe 2l/g
puis ensuite on effectue la derivée de T à l'aide du calcul différentiel , et puisque T' = dT/T... Par contre à droite du égal je n'arrive pas du tt à simplifier.
Pourriez vous me montrez votre calcul?

Merci également pour votre explication de l'erreur absolue, elle m'a a permit de bien clarifier la situation.

Posté par re : Incertitudes relatives 01-11-09 à 12:24

$T\,=\,2\pi sqrt{\frac{l}{g}\,}\,=\,2\pi\,l^{\frac{1}{2}}\,g^{-\frac{1}{2}}$
La différentielle de T :
$dT\,=\,2\pi\,g^{-\frac{1}{2}}\,\frac{1}{2}\,l^{-\frac{1}{2}}\,dl\,+\,2\pi\,l^{\frac{1}{2}}\,\big(-\frac{1}{2}\big)\,g^{-\frac{3}{2}}\,dg$
$dT\,=\,\pi\,\frac{dl}{sqrt{l}\,sqrt{g}}\,-\,\pi\,sqrt{l}\,\frac{dg}{sqrt{g^3}}$
$\frac{dT}{T}\,=\,\pi\,\frac{dl}{sqrt{l}\,sqrt{g}}\,\frac{sqrt{g}}{2\pi sqrt{l}}\,-\,\pi\,sqrt{l}\,\frac{dg}{sqrt{g^3}}\,\frac{sqrt{g}}{2\pi sqrt{l}}$
$\frac{dT}{T}\,=\,\frac{1}{2}\,\frac{dl}{l}\,-\,\frac{1}{2}\,\frac{dg}{g}$
Donc, en passant aux :
$\frac{\Delta T}{T}\,=\,\frac{1}{2}\,\frac{\Delta l}{l}\,-\,\frac{1}{2}\,\frac{\Delta g}{g}$

On peut aussi le faire en passant par les ln :
$ln(T)\,=\,ln(2\pi)\,+\,ln(sqrt{l}\,-\,ln(sqrt{g})$
Et on dérive... Apparemment, c'est plus rapide...

On peut aussi résoudre ce problème d'une autre façon.
Pour T = 2,000s, = 20°C, g = 9,80 m.s^-2 ==> $l_{20}\,=\,g\,(\frac{T}{2\pi})^2$
Pour = 15°C ==> $l_{15}\,=\,l_{20}\,+\,\beta\,(15-20)\,l_{20}$
Pour = 15°C, g = 9,81 m.s^-2 ==> $T_{15}\,=\,2\pi\,\frac{sqrt{l_{15}}}{sqrt{g}}$

Sauf erreur, on trouve   $T_{15}\,=\,1,998930397\,s$

En 24 h,   $\Delta T\,=\,\frac{(T_{15}-T)}{\frac{86400}{2}}$
Sauf erreur (parce que j'ai fait le calcul rapidement), on trouve  T -46 s

Posté par re : Incertitudes relatives 01-11-09 à 17:05

Merci, pour le calcul, c'est bon j'ai compris.

la deuxième méthode c'est celle que j'avais utilisée et je trouvais T -45s, mais j'avais utilisé un arrondi précédement, donc bon..

En tout cas merci, de m'avoir expliquer le calcul différentielle car c'est cette méthode que l'on nous demande de choisir en priorité.

Bonne fin de journée

Posté par re : Incertitudes relatives 01-11-09 à 17:50

Je n'ai pas fait le calcul jusqu'au bout mais les deux méthodes ne donnent pas obligatoirement exactement le même résultat parce que la méthode par différentielle est une approximation. Si les sont trop grands, il y a une différence. C'est similaire à l'approximation d'une courbe par sa tangente.

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