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Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle

Posté par
PanicStation 02-04-16 à 21:29

Bonsoir.

Voila l'énoncé :

Deux résistances ont des valeurs respectives 10.7 ± 2 ohm et 26.5 ± 0.5 ohm.
1. Quelle est la valeur de la résistance équivalente quand ils sont connectées (1)
en séries, (2) en parallèle ?
2. Déduire l'erreur sur la résistance équivalente dans chaque cas.

Ma réponse :

Pour ce qui en est des resistances en série :

Req = 10.7+26.5
et Delta Req = 0.5+2 = ± 2.5 ohm

Le souci est quand il sont en parrallèle :

Req = R1R2/R1+R2 = 7.6 ohm

Mais je n'arrive pas a trouver l'incertitude absolue, j'ai tenté ceci :
Ln Req = ln (R1R2) - ln(R1+R2) = lnR1+lnR2 - ln (R1+R2)
d Req / Req = d R1/R1 + d R2/R2 - d(R1+R2) / R1+R2
Delta Req / Req = Delta R1/R1 + Delta R2/R2 - Delta(R1+R2)/R1+R2

On faisant les calculs j'ai trouvé Delta Req = +- 2.0 ohm mais je ne sais pas trop si c'est juste ?

Posté par
michelandry10re : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 02-04-16 à 22:41

Bonsoir. Tu as bien commencé mais au niveau de l'incertitude absolue:
Ln Req = ln (R1R2) - ln(R1+R2) = lnR1+lnR2 - ln (R1+R2)
dReq /Req = dR1/R1 + dR2/R2 - dR1/(R1+R2) - dR2/(R1+R2)
(le différentiel de ln(R1+R2) se fait par rapport à R1 puis par rapport à R2))
En passant de d à delta les - se transforment en +
DeltaReq /Req = DeltaR1/R1 + DeltaR2/R2 + DeltaR1/(R1+R2) - DeltaR2/(R1+R2)

Posté par
PanicStationre : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 02-04-16 à 22:52

Bonsoir.

Merci bien, mais je ne pense pas avoir aquis la notion de  différentiel de ln(R1+R2) ni pourquoi les - deviennent des plus, si tu peux m'éclairer ça me serait vraiment utile, sinon je chercherais d'avantage jusqu'a comprendre

Posté par
michelandry10re : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 02-04-16 à 23:33

C'est juste que là il y a une notion de valeur absolue.
Pour le différentiel c'est une dérivée mais comme la fonction ln(R1+R2) contient deux variables il va falloir faire la dérivée par rapport à R1 et ensuite par rapport à R2.
Lorsque tu dérive par rapport à R1, R2 est alors comme une constante donc tu auras dR1/(R1+R2). Même chose pour R2 tu auras dR2/(R1+R2).

Posté par
PanicStationre : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 02-04-16 à 23:58

Exactement, mais la encore, pourquoi le signe négatif devient positif, et pourquoi dans l'expression que t'as posté y'a le moins a la fin ? si c'est en valeur absolue, tout est positif non ?

Posté par
michelandry10re : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 03-04-16 à 09:03

Justement donc c'est
DeltaReq /Req = DeltaR1/R1 + DeltaR2/R2 + DeltaR1/(R1+R2) + DeltaR2/(R1+R2)

Posté par
vanoisere : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 03-04-16 à 10:46

Bonjour,
La méthode exposée par michelandry10 est globalement correcte. Il commet tout de même une erreur : avant de passer des différentielles aux incertitudes, il faut regrouper les termes en dR1 d'une part, les termes en dR2 d'autre part et, seulement ensuite, majorer en passant aux incertitudes et aux valeurs absolues.

\frac{dR_{e}}{R_{e}}=dR_{1}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{1}+R_{2}}\right)+dR_{2}\left(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{1}+R_{2}}\right)=dR_{1}\frac{R_{2}}{R_{1}\left(R_{1}+R_{2}\right)}+dR_{2}\frac{R_{1}}{R_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}


\boxed{\frac{\triangle R_{e}}{R_{e}}=\frac{\triangle R_{1}}{R_{1}}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right)+\frac{\triangle R_{2}}{R_{2}}\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\right)}
On obtient ainsi une incertitude relative sur Re d'environ 13,9% alors que le calcul de michelandry10 conduit à environ 27,3% : presque le double !
Remarque : assimiler les erreurs à des différentielles est une approximation correcte seulement si les incertitudes relatives sur les valeurs mesurer sont faibles. Ici l'incertitude relative sur R1 est de 18,7% ce qui est un peu élevée... En toute rigueur, dans ce cas, il faudrait calculer un encadrement de Re sachant que la valeur de R1 est comprise entre 8,7 et 12,7 alors que la valeur de R2 est comprise entre 26,0 et 27,0

Posté par
vanoisere : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 03-04-16 à 11:07

En remarquant que Re est une fonction croissante à la fois de R1 et de R2, la méthode de l'encadrement conduit à Rmax8,64 et à Rmin6,52 ce qui peut se synthétiser par :
Re=7,581,06
ce qui correspond à une incertitude relative de 14,0%.
La méthode des différentielles était donc finalement satisfaisante malgré l'incertitude relative sur R1 assez élevée...

Posté par
J-Pre : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 03-04-16 à 11:19

Dans les cas simples, comme ici et surtout si il y a une grande tolérance sur certaines des données, il est préférable de faire le calcul direct et ne pas passer par les formules "toute faites" qui s'éloignent d'autant plus des réponses correctes que les tolérances relatives sur les données sont grandes.  
Ceci rejoint la remarque de vanoise à la fin de sa réponse précédente.


En série :
R typ = 10,7 + 26,5 = 37,2 ohms

R min = 10,7 - 2 + 26,5 - 0,5 = 34,7 ohms (Delta R = 34,7 - 37,2 = -2,5 ohms)
R max = 10,7 + 2 + 26,5 + 0,5 = 39,7 ohms (Delta R = 39,7 - 37,2 = +2,5 ohms)

Donc R = (37,2 +/- 2,5) ohms
-----
En parallèle :

R typ = 10,7 * 26,5/(10,7 + 26,5) = 7,622 ohms

R min = (8,7 * 26)/(8,7 + 26) = 6,519 ohms (Delta R = 6,519 - 7,622 = -1,10 ohm)
R max = (12,7 * 27)/(12,7 + 27) = 8,637 ohms (Delta R = 8,637 - 7,622 = +1,02 ohm)

Sauf distraction.  

Posté par
PanicStationre : Incertitude absolue sur des resistances en parrallèle 03-04-16 à 17:25

Merci pour vos réponses, il y'a sufisemment de quoi faire pour règler ce genre d'exercices.


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