Niveau autre

Impédance acoustique ramenée

Posté par
Romain62 15-04-17 à 11:09

Bonjour, dans le cadre de mon mémoire de fin d'études je cherche la fréquence de résonance d'un conduit auditif fermé en fonction de la longueur entre le bouchon et le tympan. On considère le tympan comme étant un système masse-ressort.

Vous trouverez ci-joint un schéma.

Nous avons travaillé avec l'impédance ramenée, mon professeur m'a montrée comment faire mais je suis bloqué (je n'arrive pas à tout relire et je ne peux pas le revoir).

$Zm=f'+j(m\omega -\frac{k}{\omega })$

$z2=\frac{z1-j*tan(Kl)}{1-j*z1*tan(Kl)}=j*tan(Kl)$
$K=\frac{\omega }{c }$
$Ztot=Zm+S*\rho *c*z2$
$Ztot=f'+j(m*\omega-\frac{k}{\omega })+S*\rho *c*j*tan(K*l)$
$Ztot=f'+j(m*\omega-\frac{k}{\omega }+S*\rho *c*tan(K*l))$
$Ztot=f'+j(m*\omega-\frac{k}{\omega }+S*\rho *c*tan(\frac{\omega }{c}*l))$

(ici je ne sais plus comment on a fait pour passer...)

$Ztot=f'+j(m\omega *f-\frac{k}{2\Pi f}+\frac{S\rho c²}{2\Pi fl})$
$Ztot=f'+j(m\omega *f-\frac{k}{2\Pi f}+\frac{S\rho c²}{2\Pi fl})$

Puis pour avoir la fréquence de résonance on dit :

$(m\omega *f-\frac{k}{2\Pi f}+\frac{S\rho c²}{2\Pi fl})=0$
$(m\omega *f-\frac{k}{2\Pi f}+\frac{S\rho c²}{2\Pi fl})=0$

Puis on obitent la frèquence de résonance en fonction de la distance l.

$f=\frac{1}{2\Pi }*\sqrt{\frac{k-\frac{S\rho c²}{l}}{m}}$

=>J'aurais aimé que quelqu'un m'explique comment on a retiré le "tan" de la 7éme ligne.
=>Et que quelqu'un me dise s'il y a une erreur quelque part (il me semble qu'il y en a une)

Cordialement
Romain

Impédance acoustique ramenée

Posté par re : Impédance acoustique ramenée 15-04-17 à 11:48

Bonjour
J'ai répondu à ce message de façon anticipée le 20/03/17 à 11h59 avec des notations il est vrai très légèrement différentes.
L'impédance fait apparaître la tangente au dénominateur et non au numérateur. J'avais écrit à l'époque :

$\underline{Z}=R+\frac{j.\rho.S.c}{\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)}+j\left(M.\omega-\frac{K}{\omega}\right)$
Ensuite, comte tenu de la longueur du conduit auditif :

$\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)\approx\frac{\omega.l}{c}$
La suite, en dessous de la phrase "(ici je ne sais plus comment on a fait pour passer...) " est correcte...

Posté par re : Impédance acoustique ramenée 15-04-17 à 12:14

Merci de votre réponse mais je bloque sur un point,

On a :
$Ztot=Zm+S*\rho *c*z2$
or
$z2=\frac{z1-j*tan(Kl)}{1-j*z1*tan(Kl)}=j*tan(Kl)$

donc si on introduit z2 dans Ztot sauf erreur de ma part on obtient
$Ztot=f'+j(m*\omega-\frac{k}{\omega })+S*\rho *c*j*tan(K*l)$
et non pas
$\underline{Z}=R+\frac{j.\rho.S.c}{\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)}+j\left(M.\omega-\frac{K}{\omega}\right)$

Je ne comprend pas pourquoi la tangente passe au dénominateur.

Posté par re : Impédance acoustique ramenée 15-04-17 à 12:39

A mon avis, elle est au dénominateur depuis le début : voir mes messages précédents...
C'est d'ailleurs la seule façon de parvenir à

$Ztot=f'+j(m\omega *f-\frac{k}{2\Pi f}+\frac{S\rho c²}{2\Pi fl})$
en posant :

$\tan\left(\frac{\omega.l}{c}\right)\approx\frac{\omega.l}{c}$

Posté par re : Impédance acoustique ramenée 15-04-17 à 14:05

Tu avais d'ailleurs toi-même, avant que je n'intervienne, posé la tangente au dénominateur dans ton message du 18-03-17 à 19:42...

Posté par re : Impédance acoustique ramenée 16-04-17 à 10:16

Merci de votre réponse, c'est bon cela tenait juste du signe de -j

Cependant il y a quand même une erreur qui je pense se situe au niveau de l'impédance rapportée..

En effet je trouve $f=\frac{1}{2\Pi }*\sqrt{\frac{k-\frac{S\rho c²}{l}}{m}}$

Donc cela signifie que si "l" augmente on a f qui augmente aussi. Or dans la réalité c'est l'inverse qui se produit...

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