Niveau maths sup

Gravitation - Modelisation

Posté par
PTSI 29-05-16 à 16:23

Bonjour,

Je suis en train de modéliser la trajectoire d'un satellite autour de la Terre sous Python, et je suis face à un os...

J'ai réussi à exprimer la force F en coordonnée cartésiennes à tout instant pour tout point , je connais également les conditions initiales relatives à la position et la vitesse à t=0.

J'ai aussi établi l'équation différentielle vérifiée par la vitesse, or je l'ai en deux parties:
•Sur les abscisses $\frac{dv_{x}}{dt}\; =\; -\frac{GM_{T\mbox{}}}{r^{2}}\; \; \cos \theta$
•Sur les ordonnées $\frac{dv_{y}}{dt}\; =\; -\frac{GM_{T\mbox{}}}{r^{2}}\; \; \sin \theta$

Où r est la distance séparant la Terre du satellite, G la constante de gravitation universelle, Mt la masse de la Terre et Thêta l'angle formé entre le vecteur unitaire Ux et le vecteur position Ur.

Je n'arrive pas à faire le lien dans tout cela....
Je cherche une fonction f(position ,vitesse ,temps) qui puisse me faire le lien entre mes différentes données.

En cours nous avons travaillé avec la méthode d'Euler,

Je vous remercie de votre aide,

M.E.

Posté par re : Gravitation - Modelisation 29-05-16 à 17:02

Bonjour
Tu as intérêt je crois à rester en coordonnées cartésiennes et à ne pas mélanger coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires :

$\frac{dv_{x}}{dt}=-\frac{GM_{T}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot x$

$\frac{dv_{y}}{dt}=-\frac{GM_{T}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot y$

En effet, ton vecteur unitaire radial peut s'écrire :

$\overrightarrow{u_{r}}=\frac{\overrightarrow{OM}}{\Vert\overrightarrow{OM}\Vert}$

soit :

$\overrightarrow{u_{r}}\left(\begin{array}{c} \\ \frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\\ \\ \frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \\ \end{array}\right)$

Posté par re : Gravitation - Modelisation 29-05-16 à 17:09

Oui en fait je compte rester en coordonnées cartésiennes;

Je ne l'ai pas précisé, mais je comptais faire une fonction Python f(position ,vitesse ,temps) où la position et la vitesse sont deux tableaux à deux éléments. Deux vecteurs.

Puis-je alors écrire mon équation différentielle sous la forme:
$\frac{dv}{dt}\; =\; -\frac{GM_{T}}{r^{2}}\; \; u_{r}$

Avec Ur le vecteur défini selon votre définition?

M.E.

Posté par re : Gravitation - Modelisation 29-05-16 à 17:15

Disons que mon problème de fond est de lier vitesse et position... J'ai du mal à recoller les morceaux, j'ai pourtant l'impression que la réponse se trouve sous mes yeux.

Savez-vous comment je pourrais déduire d'une position et d'une vitesse à un instant t la position du satellite à l'intant t+dt?

Dois-je exprimer l'EDL vérifiée par la position du satellite plutôt que par la vitesse de celui-ci?

Je vous remercie de votre aide,

M.E.

Posté par re : Gravitation - Modelisation 29-05-16 à 19:41

Citation :
Puis-je alors écrire mon équation différentielle sous la forme:
$\frac{dv}{dt}\; =\; -\frac{GM_{T}}{r^{2}}\; \; u_{r}$

Avec Ur le vecteur défini selon votre définition?

Cela va te ramener aux deux équations :

$\frac{dv_{x}}{dt}=-\frac{GM_{T}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot x$

$\frac{dv_{y}}{dt}=-\frac{GM_{T}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot y$
Je ne suis pas compétent en langage python. Tu peux intégrer les deux équations différentielles pas à pas à l'aide de la méthode d'Euler. Tu auras ainsi, pour des conditions initiales données, à la fois v_x,v_y,x et y à chaque instant.
J'ai eu l'occasion, il y a quelques temps de développer la méthode sous Excel. Tu devrais facilement être capable de l'adapter sous Python ou autre.
Il s'agit de la fiche n° 9 partie IV :

Posté par re : Gravitation - Modelisation 29-05-16 à 19:48

Je vous/te remercie pour l'aide apportée,
Je vais y jeter un œil attentif,

Encore merci!

M.E.

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