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grad (v²) (mécanique des fluides)
Bonjour,
J'ai une question au niveau du calcul de . En TD, nous avons travaillé en coordonnées cylindriques mais je pense que le "problème" sera plus facile à expliquer en cartésien, ou plutôt, j'aurai plus de facilité à comprendre.
On a et
.
Donc pour moi, on aurait
Or, en cours, nous avons écrit
D'après ce que j'ai compris de l'explication du prof et de mes camarades, c'est car les composantes de dépendent toutes des 3 coordonnes : v_x(x,y,z), v_y(x,y,z) et v_z(x,y,z).
Donc première question : comment cela se fait-il que la composante suivant x (par exemple) dépendent de y et de z ? Je n'ai pas réussi à comprendre les explications : pour moi, les 3 composantes sont "indépendantes".
Et deuxième question, en admettant que chaque composante dépende des 3 coordonnées, pouvez-vous m'expliquer comment on trouve ces dérivées-là ? Je pense qu'on se set de la dérivée composée (g \rond f)'(a) = (g(f(a)))' = g'(f(a)) \times f'(a)) mais je n'arrive pas à identifier qui est qui...
Merci des réponses que vous pourrez apportez !
PS : j'ai hésité entre le forum de maths et celui de physique. Si vous pensez qu'il s'agit d'avantage de maths et que la question doit être posée sur le forum de maths, merci de me prévenir.
Bonsoir
J'imagine que tu abordes la dynamique des fluides et l'expression de l'accélération particulaire...
Il faut considérer chaque composante du vecteur vitesse comme une fonction de 4 variables ; t,x,y,z.
La première composante du vecteur gradient fait intervenir la dérivée partielle par rapport à x, tu calcules donc cette première coordonnée en considérant t,y et z comme des constantes. Tout se passe donc, par exemple pour le calcul de la dérivée partielle de vx2 par rapport à x, comme si tu avais à calculer la dérivée par rapport à x de f(x)2 et cela : tu sais faire
D'accord, j'ai compris la dérivée du coup, merci !
Par contre je m'interroge toujours : pourquoi les composantes dépendent chacune des 3 coordonnées (pour le temps, j'arrive à me l'imaginer) ? En fait, je n'arrive pas à visualiser les composantes sur un schéma, pour moi, ce sont simplement des "longueurs".
Merci encore du temps que vous prenez pour me répondre
Imagine un jet d'eau à un instant de date t donnée : suivant les coordonnées (x,y,z) de la goutte à laquelle tu t'intéresses, le vecteur vitesse n'est pas le même à la date t. Donc, même en régime permanent, les composantes du vecteur vitesse dépendent de (x,y,z). Suppose maintenant que, pour faire plus jolie, un dispositif fasse varier périodiquement la vitesse de l'eau à la sortie du tube : chaque composante du vecteur vitesse dépendra des variables (t,x,y,z).
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