Bonjour,
Je ne sais pas si j'ai bien compris ton problème, mais essaye par exemple de représenter w(1,1,1) sous forme d'une combinaison linéaire de u et de v.
C'est impossible donc {u,v} n'est pas un système générateur de R³

Fractal

Salut,

R3 etant de dimension 3, les familles génératrices ont toutes AU MOINS 3 éléments.La famille (u,v) ne peut donc pas ête génératrice.

Tigweg

je nai pas bien compris ce dernier point, est ce que vous pourriez me lepliker avec des exemple? c'est une regle?

Bonsoir felicityy

Ce que Tigweg t'a expliqué, c'est que si E est un espace vectoriel de dimension finie n, alors une famille génératrice de E contient au moins n éléments.

Kaiser

Avec deux vecteurs, tu obtiens au maximum un espace de dimension 2. (ca peut aussi etre de dimension 1 si u et v sont colineaires, ou mm de dim 0 si u=v=0)
Ainsi il faut 3 ccordonnées dans l'espace pour definir un vecteur.
Ces coordonnées sont en fait l'expression dans une base (i,j,k) de ton vecteur.
Cette base permet donc d'engendrer toyt l'espace : elle est generatrice .
Si tu rajoutes un quatrieme vecteur à cette base, ca reste un systeme generateur.
Mais une base n'a pas d'element "en trop", on dit qu'elle est libre, alors qu'un systeme generateur à 4 éléments ne peut pas etre libre dans un espace à 3 dimensions: l'un au moins des 4 vecteurs est déjà engenddré par les 3 autres.

En résumé, on peut prouver que si à partir d'un certain nombre de vecteurs, le systeme ne peut plus être libre, ce nombre correspond aussi au nombre minimal de vecteurs à prendre pour avoir un systeme generateur.
Ce nombre s'appelle alors DIMENSION de l'espace vectoriel.
Une base en est un systeme libre et générateur, et toutes les bases comprennent autant d'elements: ce fameux nombre.

tigweg

Ce n'est pas exactement une règle mais plutot un théorème qui dit qu'une famille génératrice est toujours de cardinale plus grand que celui de toute famille libre (ce théorème est parfois appellé théorème de Steitniz)