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Niveau maths sup
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Frottement et ressort

Posté par
driansky
21-04-17 à 12:46

Bonjour,
J'ai l'énoncé suivant et je ne sais pas comment interpréter la vitesse :

On donne un champ de pesante : g=9.8m.s^2. Un corps de masse m=2kg et repéré par P est suspendu à un support fixe S par un ressort de raideur k=2450N.m^-1, il est lié à un petit plateau plongeant dans un liquide en permanence qui exerce sur lui une force -f proportionnelle à sa vitesse , ou f est variable. Dans un premier temps f=1400N.s.m^-1.

1) Calculer l'allongement l du ressort à l'équilibre:

Sur l'axe des y on a le PFS qui nous donne :

-mg+kl-fv= 0

Je ne sais pas quoi faire de v? Est ce que à l'equilivre v=0 (v=cte)?

Il ne s'agit que de la première question de l'énoncé et je suis déjà bloqué.

Je vous remercie ,

Adrien

Posté par
quarkplus
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 12:55

Bonjour,
Oui, pour moi , à l'équilibre le plateau est aussi immobile dans le liquide ; on ne donne même pas sa masse qui est négligée .
Et quelle est la question suivante ?  Je suppose que l'on va faire osciller le total ...
Là , il va générer une force de frottement .

Posté par
driansky
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 13:12

On trouve dans ce cas :

l=(mg)/k=8mm ?

2) On repère la position P par son abscisse comptée positivement vers le bas en prenant pour origine cette position d'équilibre. On applique a P une force supplémentaire égale à son poids et dirigée vers le bas on attend son immobilisation : par rapport à la position d'origine on a une position X0:

J'ai donc :

2P = k(l+X0)

X0=(2P-kl)/k= 8mm aussi?

3) A l'instant 0, on supprime cette force. Déterminer un ordre de grandeur du temps T au bout duquel le mobile ne s'écarte pas de sa position d'équilibre de plus de 5% de X0.

Et là je ne vois pas du tout.

Posté par
quarkplus
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 13:22

Je laisse utilement ma place à un autre aidant pour mieux vous expliquez .
Mais déjà , si vous faites une recherche à " ressort oscillateur amorti " , vous allez trouver des exercices très ressemblants .

Posté par
vanoise
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 15:28

Bonjour quarkplus, bonjour driansky,
Quelque chose me gêne dès le départ. Je veux bien que la masse et le volume du plateau soient négligeables devant la masse et le volume du corps de masse m mais je ne pense pas que le volume d'un solide de masse 2kg soit suffisamment faible pour que l'on puisse négliger la poussée d'Archimède exercée par le liquide sur le solide. Cette poussée d'Archimède est une force verticale orientée vers le haut d'intensité :
FA=L.g.VSL est la masse volumique du liquide et VS le volume du solide de masse m.
A l'équilibre, la force de frottement est effectivement nulle. La condition d'équilibre s'écrit :

m.g=k.\triangle l+\rho_{L}.g.V_{s}
Au cours du mouvement, compte tenu de l'origine des abscisses prise à la position d'équilibre, l'allongement du ressort est (l+x) ;
La force exercée par le ressort sur l'ensemble masse-plateau est ainsi :

\overrightarrow{T}=-k.\left(\Delta l+x\right)\overrightarrow{i}
est un vecteur unitaire vertical orienté vers le bas. La force de frottement exercée par le liquide sur l'ensemble plateau masse est :
\overrightarrow{F}=-f\cdot\overrightarrow{v}=-f\cdot\frac{dx}{dt}\cdot\overrightarrow{i}
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'ensemble masse plateau est :

m.\overrightarrow{a}=m\cdot\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\cdot\overrightarrow{i}=-k.\left(\Delta l+x\right)\overrightarrow{i}-f\cdot\frac{dx}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+m.g.\overrightarrow{i}-\rho_{L}.g.V_{s}\cdot\overrightarrow{i}
Je te laisse simplifier et remplacer l par la valeur obtenue précédemment. Tu vas obtenir une équation différentielle du second ordre :

m\cdot\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+f\cdot\frac{dx}{dt}+k.x=0
Je te laisse réfléchir à tout cela et essayer de continuer seul. Pose d'autres questions si tu ne t'en sors pas.

Posté par
quarkplus
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 15:40

Rebonjour à vous 2 ,

Je crois lire dans l'énoncé que la masse de 2 kg n'est pas plongée dans le liquide ;
Seulement le petit plateau frein  ?

Ce qui ne change pas fondamentalement la résolution ...

Posté par
driansky
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 16:28

Rebonjour,

En effet la masse de 2kg n'est pas dans le liquide, de plus l'énoncé ne laisse rien paraître sur la masse volumique du liquide ou sur le volume de la masse. Je vais résoudre l'équation différentielle.
Au final les résultats des questions 1 et 2 sont toujours corrects ?

Je vous remercie pour ces détails, c'est super utile 😊

Posté par
vanoise
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 20:38

OK ! J'ai résolu le problème en imaginant la masse m posée sur le plateau, ce qui est la solution la plus réaliste. Compte tenu de ce que tu viens de préciser : enlève la poussée d'Archimède de la condition d'équilibre et enlève-là de la relation fondamentale de la dynamique : tu obtiendras la même équation différentielle vérifiée par x !

Posté par
vanoise
re : Frottement et ressort 21-04-17 à 22:54

OK pour 2)
Pour 3) il faut résoudre l'équation différentielle que j'ai établie dans mon message de 15h28. Tu vas obtenir un mouvement d'oscillations pseudo-périodique c'est à dire un régime d'oscillations dont l'amplitude, initialement égale à Xo, va diminuer exponentiellement au cours du temps.
Ayant trouvé l'expression de x en fonction de t, tu pourras trouver au bout de combien de temps l'amplitude ne représente plus que 0,05.Xo
Comme déjà dit par quarkplus, tu trouveras facilement de l'aide sur internet si nécessaire car la résolution de cette équation différentielle  est un grand classique mais tu as certainement cela dans ton cours.
Je te laisse réfléchir à tout cela et proposer une solution. Si tu ne t'en sors pas, demande ici de l'aide !

Posté par
vanoise
re : Frottement et ressort 22-04-17 à 15:48

Un peu d'aide supplémentaire. Je viens de mon côté de faire l'application numérique. Compte tenu de la valeur extrêmement élevée du coefficient de frottement f, le mouvement n'est pas pseudo périodique mais apériodique :
x(t) = A.er1.t + B.er2.t
où r1 et r2 sont deux réels négatifs solution de l'équation caractéristique (voir ton cours). Les constantes A et B s'obtiennent en écrivant qu'à la date t=0, x=Xo=8mm avec une vitesse nulle.
Si cela peut t'aider : voici en bleu la courbe représentant les variations de x en fonction de t. J'ai tracé en pointillés rouges l'horizontale correspondant à x=0,05*Xo...
Je te laisse revoir ton cours et proposer une solution. Pose d'autres questions si tu le juges nécessaire.

Frottement et ressort

Posté par
driansky
re : Frottement et ressort 23-04-17 à 15:27

Bonjour,

J'ai trouvé 1.7 secondes comme vous .

Dans la suite de l'exercice on nous demande de déterminer la puissance maximale P développée par la force du plateau.

La force du plateau est la force de frottement. Or la force de frottement est définie par f.v, donc P= f.v2
Et x(t)= 0.008er2t
donc v(t)=0.008*r2.er2t
donc vmax= 0.008*r2= -0.014m/s (r2-1.75)
donc P = 0.27W

Et enfin on doit étudier le système en pseudo-périodique et la j'ai du mal ...

5) P est à nouveau en équilibre et maintenant f=14N.s.m-1. A l'instant 0, on déplace très rapidement de 0.1m le support S vers le bas. A quel instant t0 P est-il au plus bas ?

Cette fois-ci on trouve
x(t)=e-f/(2m).(Acos t+Bsint)
avec =sqrt()/2=(sqrt((f/m)2-4k/m)/2
je trouve avec des valeur arrondis selon les  conditions initiales :
x(t)= -0.1e3,5tcos(35t)
Bon bah là je veux trouver t lorsque P est au plus bas, c'est a dire lorsque P est en position Xmax? Je ne vois pas ...

Posté par
vanoise
re : Frottement et ressort 23-04-17 à 19:55

Dans le cas du mouvement apériodique pour commencer :
en tenant compte des deux racines de l'équation caractéristique et des conditions : x(0)=8mm , v(0)=0, on obtient :
x=8,02.10-3.e-1,75t-2.10-5.e-698t avec x en mètre.
Pour calculer T, tu as raison de négliger le second terme devant le premier : il s'amortit beaucoup plus vite que le premier et la valeur initiale est beaucoup plus faible.
En revanche, cette approximation n'est pas valide au voisinage de t = 0 : cette approximation te conduit à considérer que la vitesse est maximale (en valeur absolue) à t = 0 alors que, par hypothèse, la vitesse est nulle à t = 0 ! La méthode rigoureuse est un peu compliquée : il faut exprimer rigoureusement la vitesse. On obtient :
v(t)=-1,41.10-2(e-1,75t-e-698t) (en m/s)
J'ai représenté en vert la courbe correspondante. On constate que v(t) passe par un minimum pour t=8,6ms avec vmin=-1,38.10-2m/s.
Tu va constater que ton calcul approché conduit à une valeur très proche... Je te laisse le justifier.
Pour le mouvement pseudo périodique :
A condition de décaler l'origine du repère de 10cm vers le bas, tu peux poser : x(0)=-0,10m , v(0)=0. En tenant compte des deux racines, on obtient :
x(t)=-0,10.e-3,5t[cos(34,8t)-0,1.sin(34,8t)] (x en mètre).
Tu as raison : il est possible de négliger le terme en sinus. Comme tu le suggères, on voit bien que la position la plus basse va correspondre à x=xmax et est obtenue à la date t=T/2 où T est la pseudo période.

Frottement et ressort

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