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Friction et Force centripete
Bonjour,
Ceci est simplement une question que je me pose en ce moment, je ne pense pas meme avoir les connaiissances necessaire pour pouvoir resoudre le probleme, mais j'aimerais quand meme avoir une idee de la methode (excusez le manque d'accent: clavier americain).
On considere un disque de rayon R initialement immobile. On pose un objet de masse m une distance r du centre tel que
0< r< R
On fait ensuite tourner ce disque autour de l'axe passant par le centre a une vitesse angulaire \omega .
Disons que l'on connait le coefficient de friction entre l'objet donne et le disque. A quelle vitesse v l'ojet sera-t-il ejecte du disque?
Je connais et sais utiliser les equations de mecaniques, mais mes connaissance sur les equations differentielles sont basiques, et je vois bien que ce probleme les utilise.
Merci d'avance.
Soit P le poids de l'objet, la force de friction max est F = mu.P = mu.m.g (avec mu le coeff de frottement statique (appelé aussi coefficient d'adhérence))
Force centrifuge sur l'objet : Fc = mw²r
Limite d'adhérence : mw²r = mu.m.g
w = Racinecarrée(mu.g/r)
Avec w la vitesse angulaire en rad/s, g = 9,81 N/kg et r en m
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Sauf distraction. 
Oui, je suis d'accord avec cette egalite pour calculer la force de friction statique, mais dans mon probleme, j'ai pose que cette force est deja brisee, c'est a dire, w(omega) est deja suffisamment grande. L'objet est deja en deplacement sur la surface du disque, et seulement la force de friction cinetique est en action (outre le poids).
Voila ce que je m'imagine: Si je me trouve au centre de ce disque pendant qu'il tourne avec l'objet dessus, n'y aurait-il pas, dans ce referentiel, une acceleration nette de l'objet vers le bord du disque? (Vrai ou Faux?)
Si cela est vrai, alors j'amerais savoir comment il est possible de calculer la vitesse de l'objet lorsqu'il est sur le point d'etre ejecte etant donne un coefficient de friction cinetique mu.
Merci d'avance.
La force est radiale, et on doit utiliser le coefficient de frottement dynamique (que je vais noter n).
F = mw²r - n.mg
et F = m.d²r/dt²
mw²r - n.mg = m.d²r/dt²
w²r - n.g = d²r/dt²
d²r/dt² - w²r = -n.g
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p² = w² --> p = +/- w
r(t) = A.e^(-wt) + B.e^(wt) + ng/w²
dr/dt = -Aw.e^(-wt) + Bw.e^(wt)
Supposons qu'en t = 0 on ait r = Ro et dr/dt = 0
--->
A + B + ng/w² = Ro
-A+B = 0
A = B = (Ro - ng/w²)/2
r(t) = (Ro - ng/w²) * (e^(-wt) + e^(wt))/2 + ng/w²
r(t) = (Ro - ng/w²) * ch(wt) + ng/w²
dr/dt = w.(Ro - ng/w²) * sh(wt)
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L'objet arrive en périphérie à l'instant t1 tel que pour r(t1) = R
(Ro - ng/w²) * ch(wt1) + ng/w² = R
ch(wt1) = (R - ng/w²)/(Ro - ng/w²)
et la vitesse radiale est de (dr/dt)(t1)
Avec sh²(wt1) = ch²(wt1) - 1 -->
sh²(wt1) = (R - ng/w²)²/(Ro - ng/w²)² - 1
sh²(wt1) = [(R - ng/w²)²- (Ro - ng/w²)²]/(Ro - ng/w²)²
sh²(wt1) = [(R - ng/w² - Ro + ng/w²).(R - ng/w² + Ro - ng/w²)]/(Ro - ng/w²)²
sh²(wt1) = (R - Ro).(R + Ro - 2ng/w²)/(Ro - ng/w²)²
(dr/dt)(t1) = w.(Ro - ng/w²) * RC[(R - Ro).(R + Ro - 2ng/w²)/(Ro - ng/w²)²]
(dr/dt)(t1) = w * RC[(R - Ro).(R + Ro - 2ng/w²)] (vitesse radiale au moment de l'éjection)
Mais l'objet a aussi une composante de vitesse tangentielle (au point d'éjection) qui vaut VT = w*R
On a donc |V| = RC[w²R² + w².(R - Ro).(R + Ro - 2ng/w²)]
|V| = w . RC[R² + (R - Ro).(R + Ro - 2ng/w²)]
|V| = w . RC[2R² - Ro² - 2(R - Ro).n.g/w²)]
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