Niveau maths sup

Formule de conjugaison Newton-Descartes

Posté par
Baal 20-10-12 à 18:03

Bonjours il me faudrai de l'aide dans un exercice:
En effet j'ai la formule de Newton FA.F'A' = OF.OF'
et je dois en déduire la formule de descartes avec la relation de chasles.
Merci de m'aider

Posté par re : Formule de conjugaison Newton-Descartes 20-10-12 à 23:03

Bonsoir,
$\normalsize \bar{FA}.\bar{F'A'}\,=\,\bar{OF}.\bar{OF'}$

$\normalsize \left(\,\bar{FO}+\bar{OA}\,\right).\left(\,\bar{F'O}+\bar{OA'}\,\right)\,=\,\bar{OF}.\bar{OF'}$

$\normalsize \bar{FO}.\bar{F'O}+\bar{OA}.\bar{F'O}+\bar{FO}.\bar{OA'}+\bar{OA}.\bar{OA'}\,=\,\bar{OF}.\bar{OF'}$

$\normalsize -\bar{OA}.\bar{OF'}+\bar{FO}.\bar{OA'}+\bar{OA}.\bar{OA'}\,=\,0$

On a : $\bar{OF'}\,=\,\bar{FO}$
Donc :
$\normalsize \bar{OF'}\left(\bar{OA'}-\bar{OA}\right)+\bar{OA}.\bar{OA'}\,=\,0$

Et tu peux peut-être finir...

Posté par re : Formule de conjugaison Newton-Descartes 20-10-12 à 23:13

Bonjour,

La formule de Newton ne serait pas plutôt: $\bar{F'A'}.\bar{FA}=-f'^2$

On développe F'A et FA:

$(\bar{F'O}+\bar{OA'}).(\bar{FO}+\bar{OA})=-f'^2$

$(-f'+\bar{OA'}).(f'+\bar{OA})=-f'^2$

$-f'^2-f'.\bar{OA}+f'.\bar{OA'}+\bar{OA'}.\bar{OA}=-f'^2$

$-f'.\bar{OA}+f'.\bar{OA'}+\bar{OA'}.\bar{OA}=0$

On va factoriser par OA' par exemple:

$\bar{OA'}.(\bar{OA}+f')=f'.\bar{OA}$

$\bar{OA'}=\frac{f'.\bar{OA}}{\bar{OA}+f'}$

On retrouve bien la formule de Descartes lorsqu'on isole OA'.

Enfin c'est la façon dont j'aurai procédé pour retrouver la formule de Descartes.