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Forme locale du théorème de Gauss, sphère chargée* en volume
*uniformément
Bonjour,
Donc voilà, on me demande de déterminer la valeur du champ électrique en tout point de l'espace en utilisant la forme locale du théorème de Gauss.
J'obtiens donc une équation différentielle, mais du coup une infinité de solutions.
Comment puis-je déterminer les constantes ?
Par exemple, si est le centre de la sphère,
son rayon,
, pour tout point
tel que
, j'ai
, ce qui est juste, puisque d'après la forme intégrale de Gauss, j'obtiens
, avec
la densité de charge volumique de la sphère.
Je ne peux pas chercher une solution particulière en disant tout simplement "la dérivée s'annule", car si j'applique cette méthode j'obtiens un résultat faux ( et ça se comprend car l'équation n'a de second membre que si et si c'est le cas, la dérivée ne s'annule jamais ).
Une idée ? Merci d'avance !
Bonjour,
Quelle est cette équation différentielle ?
De combien de conditions aux limites avez-vous besoin pour déterminer entièrement la solution ?
L'équation différentielle est, a priori, si r>R et
si r<R
Comme c'est une équation différentielle de premier ordre, il faut connaître une valeur de E à un certain r. Si l'on connait cette valeur, on peut résoudre une des équations différentielles. On en déduit la solution de l'autre par continuité du champ électrique à travers une charge volumique.
Mais je ne vois pas comment connaître un E(r) particulier, du moins sans utiliser un résultat précédent obtenu par Gauss (en fait peut-être que c'est ce qui est attendu car je ne vois pas comment faire autrement... tout ce que je sais c'est que le potentiel tend vers 0 en l'infini, mais ça implique seulement que le champ électrique est constant à l'infini et ne donne pas plus d'information...)
Re,
En fait, j'aurais du aussi vous demander comment vous trouvez ces équations différentielles... Comment ?
(et vous n'avez pas dit que vous utilisez la symétrie sphérique du problème...)
Comme toute la charge électrique est localisée dans la boule, je suis sur que vous avez une idée de ce que peut valoir le champ électrique à l'infini... Ensuite, il faudra raccorder les deux solutions que la surface de la boule en utilisant, par exemple, la continuité d'une certaine grandeur physique.
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