Re bonsoir à tous !
C'est encore moi,toujours en maths sup, et bloquée sur un DM de physique avec plus de 70 questions...
J'ai vu qu'il ne fallait qu'un seul exercice par sujet alors je crée un nouveau sujet, pour la suite de mon DM, s'il ne fallait pas n'hésitez pas à me le dire et je ferais de mon mieux pour rectifier le tir.
L'exercice 3 s'intitule "Satellite Artificiel,Sonde spatiale".
L'énoncé de départ est le suivant :
" Un satellite articifiel S,assimilable à un point matériel de masse m, évolue librement, à grande distance de la Terre. La Terre est considérée comme un corps immobile, rigoureusement sphérique et homogène de rayon R, de masse M et de centre O. On désigne par vecteur r= vecteur OS le vecteur position du satellite et par vecteur v= d vecteur r/dt. A l'instant initial t=0, le satellite se trouve dans la position vecteur r0, animé de la vitesse vecteur vo, non radiale.
L'influence de la Lune, du Soleil et des autres planètes ainsi que celle de l'atmosphère sont ignorées. On étudie la situation pour t>0"

Je suis bloquée à différents endroits...

Dans la partie 2, qui se nomme "Etude du mouvement plan, aspects dynamiques et énergie", je suis bloquée à la question 4 qui est :
" On note respectivement U(r) et K(r) l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du satellite dans la position courante r, et respectivement U0 et K0 ces mêmes énergies à l'instant initial.
Partant de la position vecteur r, le satellite effectue un déplacement élémentaires vecteur dr le long de sa trajectoire. Relier les variations dU(r) et dK(r) de l'énergie potentielle et cinétique observées au cours de ce déplacement."

D'après mon cours sur le sujet, on a Ec = -Ep/2 , démonstration simple en utilisant la vitesse constante d'un satellite en orbite géostationnaire. Or ici, nous n'avons pas cette information, la trajectoire n'est pas précisée (bien que dans la partie 1 nous ayons effectivement constaté que dans le cas général, elle était elliptique ou circulaire). J'ai tenté de dériver les énergies mais les résultats n'étaient pas liés, et je ne vois pas comment les relier...


Dans la partie 4, intitulée "Erreur de positionnement du satellite sur orbite":
"Selon les cas, des erreurs à la mise en position du satellite peuvent l'amener sur une trajectoire elliptique. L'équation polaire de la trajectoire du satellite dans le cas général s'exprime par r= p/ 1+ecos&  (& représente un angle theta quelconque) (on suppose l'origine des angles polaires & convenablement choisie).
On montre que la valeur du paramètre p répond à p=C²/GM ou C est la constante des aires, G la constante universelle de gravitation et M la masse du centre attractif.
2) La mise en orbite du satellite est imparfaite. Il est placé à l'altitude h=a1-R (a1 est le rayon de l'orbite géostationnaire, j'ai trouvé a1=42150 km, R est le rayon terrestre), mais avec un vitesse de module v' légèrement grande que v1, de direction orthoradiale (j'ai trouvé précédemment v1= 3,08km/s, vitesse du satellite géostationnaire).
Représenter schématiquement la trajectoire obtenue. Quelles sont les nouvelles valeurs C',p' et e' prises par C,p et e ? (C,p,e dans le cas géostationnaire toujours,C=a1*oméga², ou oméga est la vitesse angulaire de rotation de la Terre,p=a1 et e=0)
Calculer numériquement les valeurs extrêmales rmin et rmax prise par la distance r entre le satellite et le centre de la Terre pour v'=3300 m/s
3) L'énergie mécanique E du satellite a une expression analogue à celle d'un satellite circulaire, en remplaçant dans cette expression le rayon par le demi grand axe a' de la trajectoire. En déduire la valeur de a' "


J'ai trouvé : C'=(a1-R)²*oméga, mais je ne suis déjà pas sûre de ça, car même pour la valeur de C j'ai vu certains mettre C=a1v1 (le résultat est très proche). La valeur de p' s'en déduit, ici pas de soucis.
En revanche pour la valeur de e'... Je n'ai absolument aucune idée de comment procéder, j'ai tenté de l'évaluer en utilisant l'équation polaire de la trajectoire, à l'apogée (ou au périgée) mais le résultat me semble étrange...
De même pour les valeurs de rmin et rmax, j'ai voulu utiliser l"équation avec les valeurs 0   et 180° mais cela me donne deux résultats inversés, soit un cercle et cela ne correspond pas, mais du coup je sèche...
Pour l'énergie mécanique, on a E= mv'²/2 - GMm/2a' soit a' = -GMm/(2E-mv'²) or on ne me donne pas la valeur de m, donc je ne vois pas comment déduire la valeur de a' de cette expression ^^

Et enfin, dans la 5ème partie nommée "Sonde Spatiale", il y a une première partie sur la première phase du mouvement de la sonde ,en orbite basse autour de la Terre, puis on a ceci:
" Le plan de vol prévoit une approche de Mars puis une poursuite du voyage en direction de Jupiter. La disposition des planètes impose alors de dévier la trajectoire de la sonde. Afin d'économiser tout moyen de propulsion, la sonde va utiliser le champ de gravitation martien pour cette opération. La suite de l'étude est dans le référentiel planéto-centrique Rm centré sur Mars.
Dans la première partie du mouvement, la sonde est suffisamment éloignée de Mars pour que l'on considère son mouvement comme rectiligne et uniforme, l'interaction de gravitation avec la planète étant infime. On note va la vitesse d'approche de la sonde dans ce référentiel. On note b la distance entre la droite support de la vitesse dans la phase d'approche et le centre de la planète, nommée paramètre d'impact.
1) Quelle sera la nature de la trajectoire suivie par la sonde à proximité de Mars ? Justifier.
2) Quelle est l'énergie Ea de la sonde dans le référentiel Rm ? Calculer la valeur Ca de la constante des aires pour la sonde. La trajectoire répond à l'équation polaire r= pa/1+eacos& (& un angle theta quelconque) avec pa=Ca²/GMa (Ma la masse de Mars)
Déterminer pa puis ea en fonction de b,va,G et Ma. On donne la relation entre l'énergie Ea du mobile,pa et ea: Ea=(GmMa)*(ea²-1)/pa
3) Etablir une condition sur b pour que la trajectoire de la sonde subisse en fin de processus une déviation de 10° par rapport à sa direction incidente.
4) A quelle altitude minimale ha la sonde va t-elle survoler la surface de Mars dans ces conditions ? On donne va=1.00x10⁴m/s  "

J'ai mis que la trajectoire serait elliptique, car le champ de gravitation martien est un champ newtonien.
J'ai ensuite trouvé Ea= mva²/2 - GmMa/Ra (Ra le rayon de Mars), mais là déjà je ne sais pas si l'énergie potentielle de gravitation doit être prise en compte, je ne sais pas si l'on se place loin ou proche de Mars ?
En considérant la première option, j'ai mis Ea = mva²/2, donc C=bva, pa=b²va²/GMa et grâce à la relation avec Ea et ea, j'ai trouvé ea= racine carrée de ((b²va⁴/2G²Ma² )+1)
Mon hypothèse est elle la bonne ou doit considérer également l'énergie potentielle de gravitation ?
Quant aux deux dernières questions, je me suis creusée la tête pendant 1h sans avoir d'idée à utiliser, je ne vois vraiment pas... J'ai pensé un instant à un angle &sortie qui devrait valoir &entrée +10, mais je ne vois pas comment m'en servir !

Voilà, désolé pour la longueur mais malgré déjà une semaine passée sur ce DM je bloqué désespérément à ces questions là, même si elles ne représentent qu'un dixième du reste cela m'énerve !
Merci à ceux qui prendront de leur temps pour m'aider, je vous en suis reconnaissante d'avance !
Miss