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Force de Laplace

Posté par
Boone11
21-01-22 à 09:23

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider sur l'exercice suivant :
On considère une particule chargée dans un champ électromagnétique soumise  à la force de Lorentz. On se place dans le cas d'un champ magnétique uniforme (\textbf{B}=B\textbf{e}_z) et d'un champ élec nul. A l'instant initial, on a \textbf{v}=(v_1;0;v_3) et v_1=\sqrt(v^2-v_3^2).

On demande :
1) Pour une charge q<0, résoudre l'équation pour la vitesse : \frac{dV}{dt}=w(e_z \land V)  avec w=-qB/m
2) Donner les équations horaires du mouvement
3) Montrer que la projection du mouvement dans le plan xOy est uniforme et décrit un cercle.

Mes tentatives de réponse :
1) \frac{dV}{dt}=w(e_z \land V)  avec w=-qB/m
Donc après intégration et application des conditions initiales on a :
V_1=v_1
V_2=wv_1t
V_3=v_3
(Je ne vois pas où intervient le fait que q<0. J'ai dû rater quelque chose.

2) On intègre :
x(t)=v_1t
y(t)=wv_1t^2/2
z(t)=v_3t

3) Pour montrer que c'est un cercle, il faut que je montre que x^2+y^2=cste. Ca n'a pas l'air de fonctionner pour moi.

Merci pour votre aide !

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 21-01-22 à 12:13

La situation est nettement plus compliquée !
Ton énoncé n précise pas ce qu'il appelle v dans l'expression :
v_1=\sqrt(v^2-v_3^2)
Sinon : la relation fondamentale de la dynamique doit être projeter sur les trois axes.
Cela conduit bien à v3=constante. En revanche : Pour les deux autres n obtient :
dv1/dt : fonction de et de v2
dv2/dt : fonction de et de v1.
L'intégration n'est donc pas évidente...
Le signe de influence le sens du mouvement le long de la trajectoire.
Commence par écrire proprement les équations différentielles. Je t'aiderai ensuite si tu n'arrives pas à obtenir les expressions de v1 et de v2 en fonction de t et des paramètres du problème.

Posté par
Boone11
re : Force de Laplace 21-01-22 à 16:15

Merci pour votre aide.

Dans l'énoncé, on me dit que v est la vitesse de la particule, rien de plus.

Je ne vois pas comment obtenir  \frac{d v_1}{dt}   en fonction de v_2 et w :

Le produit vectoriel me donne :
e_z \land V=(0*v_3-1*0) e_x + (1*v_1-0*v_3) e_y + (0*0-0*v_1) e_z = 0 e_x + v_1 e_y + 0 e_z.

Puis :
Sur e_x : \frac{dv_1}{dt}=0
Sur e_y : \frac{dv_2}{dt}=wv_1
Sur e_z : \frac{dv_3}{dt}=0

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 21-01-22 à 16:37

\overrightarrow{e_{z}}\wedge\left(v_{1}.\overrightarrow{e_{x}}+v_{2}.\overrightarrow{e_{y}}+v_{3}.\overrightarrow{e_{z}}\right)=v_{1}.\overrightarrow{e_{y}}-v_{2}.\overrightarrow{e_{x}}
 \\
d'où les équations différentielles couplées :

\frac{dv_{1}}{dt}=-\omega.v_{2}
 \\ 
 \\ \frac{dv_{2}}{dt}=\omega.v_{1}
 \\ 
 \\ \frac{dv_{3}}{dt}=0
On en déduit : v3= constante ; z=v3.t : mouvement rectiligne uniforme suivant z.
Reste à montrer que le mouvement du projeté de la particule dans le plan (Oxy) est un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire .
Pour résoudre le système formé des deux premières équations différentielles, on peut dériver la première équation puis procéder par substitution en tenant compte de la seconde. Tu obtiens une relation très simple entre v1 et sa dérivée seconde par rapport à t. Méthode analogue pour v2.

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 21-01-22 à 16:45

La relation concernant la date t= O : v_{1}=\sqrt{(v^{2}-v_{3}^{2})} n'apporte aucune information particulière. Elle est équivalente à :

v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{3}^{2}} expression de la norme du vecteur vitesse initiale puisque à t=0 : v2=0. Il y a tout de même un problème d'énoncé car v1,v2,v3 désignent les coordonnées du vecteur vitesse à la date t. Il serait donc préférable de noter v01 et v03 les valeurs particulières de v1 et de v3 à la date t=0.

Posté par
Boone11
re : Force de Laplace 21-01-22 à 17:07

J'obtiens :
\frac{d^2v_1}{dt^2}=-w^2v_1
\frac{d^2v_2}{dt^2}=-w^2v_2

Ce qui donne  :
X^2+w^2=0
Donc :  
X=-w
ou
X=w
Puis
 v_1=(C_1e^{(wt)}+C_2e^{(-wt)})
 v_2=(C'_1e^{(wt)}+C'_2e^{(-wt)})

Pour les conditions initiales, je ne vois pas comment faire puisque j'ai 4 constantes...

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 21-01-22 à 18:34

Les racines de l'équation caractéristique sont i. et non . Les solutions sont donc sinusoïdales de la forme :
v1 = A.cos(.t)+B.sin(.t)
v2 = C.cos(.t)+D.sin(.t)
Les constantes A, B, C et D sont à déterminer en fonction des conditions initiales. Elles vont faire intervenir v01 et v02 .

Posté par
Boone11
re : Force de Laplace 22-01-22 à 09:33

Merci !

A t=0, je vais pouvoir déterminer A et C mais pour B et D je ne vois pas comment faire puisque sin(0)=0.

De plus, les conditions initiales me donnent 2 équations et j'ai 4 inconnues.

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 22-01-22 à 10:41

x(t)=[-A.sin(.t)+B.cos(.t)]
y(t)=[-C.sin(.t)+D.cos(.t)]
La connaissance des vitesses initiales et des coordonnées initiales fournit quatre équations pour quatre inconnues.
PS : j'aurais dû te le faire remarquer dès mon premier message : la force exercée sur une particule chargée placée dans un champ électromagnétique est la force de Lorentz. La force de Laplace est la force magnétique exercée sur un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique.

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 22-01-22 à 15:16

Grossière erreur dans mon message précédent : en dérivant par rapport au temps l'expression de la vitesse, on obtient l'accélération. Il faut donc écrire :
ax(t)=[-A.sin(.t)+B.cos(.t)]
ay(t)=[-C.sin(.t)+D.cos(.t)]
en reprenant les relations de mon message du  21-01-22 à 16:37 dans le cas particulier des conditions initiales :
ax(0) =-.v02
ay(0) =.v01
Tu as là les deux relations manquantes pour obtenir les quatres constantes A, B, C et D.

Posté par
Boone11
re : Force de Laplace 24-01-22 à 12:01

J'obtiens :
A=D=\frac{v_{01}}{w}

Donc la trajectoire, dans le plan xOy est un cercle de rayon \frac{v_{01}}{w}.

Merci pour votre aide !

Posté par
vanoise
re : Force de Laplace 24-01-22 à 12:22

C'est bien cela ! Le mouvement en 3D est la composition d'une translation suivant (Oz) à la vitesse constante v03 et d'une rotation à vitesse angulaire constante autour de l'axe (C,z). (voir allure de la trajectoire ci-dessous ; hélice tracée avec une échelle totalement arbitraire).
Remarque : en cas de particule de charge positive, la particule aurait été déviée à la date t= 0 dans le sens des y<0.Le point C aurait eu pour coordonnées (0, -R, 0) avec :

R=\frac{v_{01}}{|\omega|}=\frac{m.v_{01}}{q.B}

Force de Laplace



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