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force de frottement
Un avion se déplaçant horizontalement dans l'air est soumis à une force de frottement, de la part de l'air, qui est proportionnelle au carré de la vitesse, de module égal à Bv².
1/ Calculer la force de poussée que doivent exercer les réacteurs pour que la vitesse de l'avion soit constante et de valeur égale à v0=900 km.h-1.
2/ A l'instant t = 0, l'avion amorce un piqué (mouvement vertical) et éteint son moteur.
2a- Déterminer l'équation différentielle satisfaite par la vitesse. On notera a = 
(mg/B) et 
= (m/Bg) .
2b- En déduire l'expression de v(t). On donne 
dv/(a²-v²)= 1/2a x ln((a+v)/(a-v)).
2c- Quelle est la vitesse atteinte par l'avion au bout d'un temps « très long » tl ? Dépend t-elle de la masse de l'avion ? Evaluer tl.
Données : B = 1,5 kg.m-1, masse avion m = 10 tonnes,
Pour la 1/ je trouve F=375 N
2/a/ j'ai pour équa diff dv/dt = g - B/m v²
Mais pour la suite je bloque.
Serait il possible de vérifier mes résultats et de m'expliquer comment résoudre la fin de l'exercice.
Cordialement, scooby69.
1)
vo = 900 km/h = 250 m/s
F = BVo² = 6,25.10^4.B = 93750 N
---
2)
Poids = mg (vertical vers le haut)
Force de frottement = Bv² (vertical vers le haut)
mg - Bv² = m.dv/dt
dv/dt + (B/m).v² = g
---
dv/dt + 1,5.10^-4.v² = 9,8
Solutions de dv/dt + 1,5.10^-4.v² = 0 :
dv/v² = -1,5.10^-4 dt
-1/v = -1,5.10^-4.t + C
v = 1/(1,5.10^-4.t - C)
Solution particulière de dv/dt + 1,5.10^-4.v² = 9,8 :
v = racinecarrée(9,8/(1,5.10^-4)) = 255,6
Solutions générales de dv/dt + 1,5.10^-4.v² = 9,8:
v(t) = 255,6 + 1/(1,5.10^-4.t - C)
Si V(0) = 250 -->
250 = 255,6 + 1/(-C)
C = 0,18
v(t) = 255,6 + 1/(1,5.10^-4.t - 0,18)
Et si t --> +oo, V tend vers 255,6 m/s
Que l'on peut trouver en annulant le dv/dt dans dv/dt + (B/m).v² = g
---> v²limite = mg/B = 10000*9,8/1,5 = 65333
v limite = 255,6 m/s (qui dépend de la masse de l'avion).
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Sauf distraction. 
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