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force d'un aimant

Posté par
praf
01-04-21 à 18:38

Bonjour mes amis,

est ce qu'on peut déterminer la force produit par un aimant et agit sur un autre élément (un  autre aimant par exemple, un circuit,....) comme par analogie on a la force de Laplace?

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 01-04-21 à 18:47

Bonjour
La situation est plus compliquée car elle dépend de la forme de l'aimant, de son aimantation, de la forme de la pièce ferromagnétique attirée , ...
Dans le cas de pièces de dimensions suffisamment faible, on peut considérer la force inversement proportionnelle au cube de la distance au pôle et proportionnelle au carré de la norme du vecteur B sous un pôle.
Quelques mesures ici :

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 01-04-21 à 18:50

Tu trouveras ici une expression simplifiée de la force valide dans le cas d'un contact entre la pièce métallique et l'aimant :

Posté par
praf
re : force d'un aimant 01-04-21 à 19:10

Bonjour Vanoise,
enchanté de m'aider encore dans ce sujet,

ce que je ne comprend pas, c'est :

si on considère un aimant comme des dipôle magnétique de moment M, il va  créer un champ magnétique B
l'action de ce champ sur un autre dipôle de moment M'( un circuit par exemple):
L'action mécanique de Laplace est un couple de forces qui va l'orienter dans le même sens de champ B donc provoquer un mouvement de rotation

mais l'action entre deux aimant, ils y a attraction ou répulsion donc un mouvement de translation
c'est ça ce que je ne comprend pas

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 01-04-21 à 19:40

Imagine une petite aiguille aimanté de moment magnétique \overrightarrow{M} placée dans un champ magnétique de vecteur champ d'induction magnétique \overrightarrow{B} créé par une source de champ autre que la petite aiguille : électroaimant, aimant permanent, peu importe. Les actions magnétiques exercées par cette source sur le dipôle magnétique se caractérisent par deux grandeurs :

1° : Un couple de force magnétique de moment : \overrightarrow{\varGamma}=\overrightarrow{M}\wedge\overrightarrow{B} : comme tu viens de l'écrire, ce couple tend à orienter le vecteur moment magnétique suivant la direction et le sens du vecteur champ sans provoquer de mouvement du centre d'inertie de l'aiguille.

2° : une force de résultante

\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{grad}\left(E_{p}\right)=-\overrightarrow{grad}\left(-\overrightarrow{M}.\overrightarrow{B}\right)=\overrightarrow{grad}\left(\overrightarrow{M}.\overrightarrow{B}\right)
(Ep énergie potentielle associée à la force conservative de vecteur \vec F).
La norme du vecteur \vec M est une constante ; cette résultante de force est nulle dans le cas d'un champ magnétique uniforme. Dans le cas d'un champ non uniforme, la force tend à déplacer l'aiguille vers la zone où le champ magnétique est le plus intense : vers le pôle le plus proche s'il s'agit d'un aimant permanent, vers le centre d'une bobine plate, vers l'extrémité la plus proche d'un solénoïde...
P.S. : J'aurais pu évoquer la notion de torseur mais je ne sais pas si cette notion est à ton programme.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 01-04-21 à 22:07

Bonsoir Vanoise,
Merci pour ces explication intéressantes
maintenant je commence à comprendre
oui, on a étudier les torseurs

donc si je comprend bien :
- si le champ magnétique est uniforme : on a seulement le mouvement de rotation pour que M est colinéaire avec B

- si le champ magnétique pas uniforme on a un mouvement de translation et de rotation  

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 01-04-21 à 22:18

Oui, l'aiguille aimantée étant attirée dans le sens des champs magnétiques de norme croissante.
Tu as donc reconnu les deux vecteurs  caractérisant le torseur des actions magnétiques exercées par la source du champ magnétique sur la petite aiguille aimantée.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 01-04-21 à 22:32

Merci Vanoise,
donc je peux supposer que :

-si   \overrightarrow{M} et  \overrightarrow{B} sont de même sens on a   \overrightarrow{F} est positive donc on a attraction

-si   \overrightarrow{M} et  \overrightarrow{B} sont de sens opposé on a   \overrightarrow{F} est négative donc on a répulsion

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 01-04-21 à 23:18

Non : puisque l'énergie potentielle a pour expression E_{p}=-\overrightarrow{M}.\overrightarrow{B}=-M.B.\cos\left(\overrightarrow{M},\overrightarrow{B}\right), la position obtenue après orientation : \overrightarrow{\varGamma}=\overrightarrow{M}\wedge\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0} avec des vecteurs \overrightarrow{M} et \overrightarrow{B} de même direction mais de sens opposés correspond à un maximum d'énergie potentielle (voir propriété du cosinus) ; c'est donc une orientation instable jamais obtenue en pratique. Je me limite donc à l'orientation stable qui correspond aux vecteurs \overrightarrow{M} et \overrightarrow{B} de même direction et de même sens. Une fois cette orientation stable obtenue, la résultante du torseur des actions magnétiques exercées sur la petite aiguille aimantée s'écrit :

\overrightarrow{F}=\overrightarrow{grad}\left(M.B\right)=M.\overrightarrow{grad}\left(B\right)
puisque le moment magnétique de la petite aiguille est indépendant des coordonnées d'espace. Propriétés du gradient : si le champ magnétique est uniforme, la résultante est le vecteur nul. Sinon, le vecteur force est orienté dans le sens croissant de la norme du vecteur champ, donc vers le pôle le plus proche si la source de champ est un aimant.

Pour mieux comprendre, tu pourrais dessiner une petite aiguille aimantée au voisinage du pôle nord d'un aimant droit puis la même aiguille au voisinage du pôle sud du même aimant. Tu devrais facilement retrouver les lois qualitatives sur les interactions magnétiques : le pôle nord d'un aimant attire le pole sud de l'aiguille aimantée et inversement : le pole sud de l'aimant attire le pole nord de l'aiguille aimantée.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 02-04-21 à 22:45

Bonsoir Vanoise,
Merci pour ces explications,
Si je comprend bien, je peux conclure que il ya une force de répulsion entre deux aimants ou entre un aimant et un circuit quand il y a obstacle pour le mouvement de rotation et les moments magnétique sont opposé

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 03-04-21 à 12:25

Je crois que tu as bien compris maintenant. Pour obtenir une répulsion, il faut effectivement empêcher la rotation vers la position d'orientation stable.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 03-04-21 à 23:24

Merci Vanoise pour l'explication,
Est ce qu'on peut obtenir les equations de mouvement soit de la rotation soit de la translation

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 04-04-21 à 13:10

Pour le mouvement de rotation, imagine une petite aiguille de boussole mobile autour d'un axe vertical (Oz) et placée dans le champ magnétique terrestre supposé uniforme dans la région entourant l'aiguille. Le pôle sud de l'aiguille est légèrement lestée de façon que le mouvement de l'aiguille ne soit dû qu'à l'existence de la composante horizontale Bh du champ magnétique terrestre. On choisit le repère de sorte que : \overrightarrow{B_{h}}=B_{h}.\overrightarrow{u_{y}}

On peut appliquer le théorème du moment dynamique à l'aiguille dans le repère (O,x,y,z) lié à la terre et considéré comme galiléen. Le moment du poids par rapport à l'axe étant nul :

I_{oz}\cdot\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\cdot\overrightarrow{u_{z}}=\overrightarrow{M}\wedge\overrightarrow{B_{h}}

Ce qui donne en projection sur l'axe (O,z) en posant : \theta=\left(\overrightarrow{B_{h}},\overrightarrow{M}\right)=\left(\overrightarrow{u_{y}},\overrightarrow{M}\right) :

I_{oz}\cdot\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-M.B_{h}.\sin\left(\theta\right)

Pour des écarts angulaires à la position d'équilibre stable de faibles valeurs : \sin\left(\theta\right)\approx\theta. Je te laisse continuer ; on obtiens des oscillations sinusoïdales dont il est facile d'obtenir la période en fonction de Ioz, M et Bh. Évidemment, la situation se complique en présence de frottement.

Mouvement de translation : imagine un électroaimant source de champ, assimilable à une bobine plate comportant N spires de rayon moyen R, d'axe de symétrie (Oz) : axe vertical. Imagine un petit aimant placé à l'altitude z sur l'axe de symétrie de sorte que les vecteurs \overrightarrow{M} et \overrightarrow{B} soient colinéaires et de même sens. Puisque l'expression B=f(z) où B désigne la norme du vecteur champ créé par la bobine plate, est connue, l'expression de la force magnétique exercée par la bobine plate sur le petit aimant s'écrit :

\overrightarrow{F}=\overrightarrow{grad}\left(M.B\right)=M.\overrightarrow{grad}\left(B\right)=M\cdot\frac{dB}{dz}\cdot\overrightarrow{u_{z}}

On peut alors appliquer la relation fondamentale de la dynamique, éventuellement étudier un phénomène de sustentation magnétique....

Posté par
praf
re : force d'un aimant 04-04-21 à 21:45

Merci beaucoup Vanoise,
c'est clair maintenant.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 08-04-21 à 19:23

Bonsoir Vanoise,
Excuse moi,
est ce qu'on peut considérer la force d'attraction entre deux dipôle magnétique comme une force centrale?

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 08-04-21 à 20:08

La réponse est non.
Tu as en tête je pense l'allure des ligne de champs du champ magnétique créé par un dipôle magnétique. Rien de bien simple dès que l'on s'écarte sensiblement de l'axe de symétrie de  la petite bobine équivalente. Imagine une petite aiguille aimantée placée dans ce champ. Elle va s'orienter le long de la ligne de champ passant par son centre mais rien ne permet d'affirmer que \overrightarrow{F}=\overrightarrow{grad}\left(\overrightarrow{M}.\overrightarrow{B}\right) est orienté vers le centre de la bobine source du champ.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 10-04-21 à 14:57

Merci Vanoise,
Je pose la question par ce que je pense a appliquer les formule de Binet et la loi des aires et la conservation de l'energie mecanique
L'application de la relation fondamental de dynamique sur la force

\overrightarrow{F}=M\cdot\frac{dB}{dz}\cdot\overrightarrow{u_{z}}

Donne une acceleration qui varie avec la distance comme une force centrale
Est ce que  une integration simple par rapport au temps comme le cas ou l'acceleration est constante permet d'obtenir les equation de mouvement

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 10-04-21 à 18:36

Dès que l'on s'écarte de l'axe de la bobine source de champ magnétique, l'expression littérale du vecteur champ ne peux être obtenue que de façon approchée et encore : seulement à des distances r petites devant |z|, la cote en coordonnées cylindro-polaires, l'origine de l'axe (Oz) étant le centre de la bobine source de champ. Pas question donc d'utiliser les méthodes applicables aux mouvements sous l'action d'une force centrale. Une seule chose relativement simple au niveau littéral : supposer la petite aiguille aimantée (dipôle magnétique) centrée sur cet axe (Oz) et orienté le long de cet axe  et étudier son mouvement rectiligne le long de cet axe.
Voir dernier paragraphe de mon message du 04-04-21 à 13:10.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 10-04-21 à 21:01

merci Vanoise,
dans les conditions que tu as mentionné ci-dessus
un dipôle magnétique de moment M placé dans l'axe
placé à l'altitude z sur l'axe verticale  d'une bobine plate de rayon R de sorte que les vecteurs \overrightarrow{M} et \overrightarrow{B} soient colinéaires et de même sens
on obtient un mouvement de translation rectiligne
on a :

B=\frac{\mu _0 M'}{2 \pi z^3}=\frac{\mu I R^2}{2z^3}   (avec  M'=IS=I \pi R^2)

\frac{dB}{dz}=\frac{-3\mu I R^2}{2z^4} avec k constante

\overrightarrow{F}=M\cdot\frac{dB}{dz}\cdot\overrightarrow{u_{z}}

et \vec{F}=m\vec{a}

ce qui donne

\vec{a}=\frac{-k}{r^4}\overrightarrow{u_{z}}  avec k constante

et ici je me bloque.
comment intégrer la dernière formule pour obtenir les équation de mouvement?

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 10-04-21 à 22:35

Citation :
\vec{a}=\frac{-k}{z^4}\overrightarrow{u_{z}}

A cette force se rajoute le poids et d'autres forces éventuelles. En imaginant un dispositif qui bloque le dipôle en position d'équilibre instable, le sens de la force magnétique s'inverse. On peut imaginer un dispositif de sustentation magnétique, étudier les oscillations de faible amplitude autour de la position d'équilibre possible...

Posté par
praf
re : force d'un aimant 11-04-21 à 00:52

Bonsoir Vanoise,
C'edt vrai
Mais si on considère que le mouvement est horizontal le poid ne travail pas et sa projection sur l'axe oz est nule et pas d'autre force qui s'applique au dipole
Est ce qu'il y a une methode pour trouver les equation de mouvement comme le cas d'une force centrale ou on ne peut pas intégrer l'equation \vec{a}=\frac{-k}{r^4}\overrightarrow{u_{z}}

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 11-04-21 à 12:31

Tes formules sont valides pour |z| très supérieur au rayon de la bobine source. En se limitant au mouvement rectiligne sur l'axe (Oz), tu es amené à résoudre une équation différentielle du second ordre de la forme :

\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}+\dfrac{k}{m}\cdot\dfrac{1}{z^{4}}=0

Je ne pense pas que cette équation différentielle admette de solutions littérales simples. Il faut se contenter de simulations numériques. En revanche, raisonner sur la conservation de l'énergie mécanique permet simplement d'exprimer la vitesse en fonction de z.

Posté par
praf
re : force d'un aimant 12-04-21 à 17:07

Merci Vanoise,
est ce que le traitement suivant est correcte ?

on a  

E_m=\frac{1}{2}mv^2+E_p=E_p(t=0)

avec

E_p=-M'.B=-M'.\frac{\mu I R^2}{2z^3}    

ce qui donne

v^2=K(\frac{1}{z_0^3}-\frac{1}{z^3})

Posté par
vanoise
re : force d'un aimant 12-04-21 à 17:16

D'accord !

Posté par
praf
re : force d'un aimant 12-04-21 à 18:14

Merci beaucoup Vanoise.



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