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Fonction de Lagrange et Energie

Posté par
mikel83 11-03-18 à 13:55

Bonjour à tous!
La fonction de Lagrange d'un système mécanique fermé (ou placé dans un champ constant) est de la forme L=T(q,dq/dt)-U(q) , où T est fonction du carré des vitesse.
En appliquant le théorème connu d'Euler (??) sur les fonctions homogènes, on doit obtenir
(voir pj).
Qui peut m'expliquer comment on arrive à ce résultat? Merci par avance, Mikel.

Fonction de Lagrange et Energie

Posté par re : Fonction de Lagrange et Energie 11-03-18 à 14:18

Bonjour

Une fonction est homogène de degré h si $f(tx) = t^{h}f(x)$ où t est un scalaire.
Soit $x_{i}$ un degré de liberté du système considéré, alors si on considère f une fonction homogène de degré h à plusieurs variables différentiables des $x_{i}$ on a :
$\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x) = hf(x)$ C'est ça le théorème d'Euler.
T est bien une fonction homogène de degré 2 pour $\dot{q}_{i}$ .
Donc par application directe on a le résultats escompté (en remplaçant $x_{i}$ par $\dot{q}_{i}$ et f(x) pat le Lagrangien).

Est-ce plus clair ?