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Fonction d'onde, méca quantique

Posté par
Jorg2 15-10-16 à 13:48

Bonjour,

je suis en train de résoudre un exercice de mécanique quantique, et j'aimerais avoir votre avis sur ce que j'ai déjà fait.
Soit la fonction d'onde:
\psi (x) = N \exp \frac{-\left|x \right|}{2a}   avec a>0

1.Calculer la constante de normalisation N
2.Calculer la probabilité que une moyenne de l'observable de position soit comprise entre x et a
3.Calculer la dispersion de x.

1.
1 = \left|N \right|^{2} \int_{-\infty }^{+\infty }{\exp \frac{-2\left|x \right|}{2a}} dx = \left|N \right|^{2} \int_{-\infty }^{+\infty }{\exp \frac{-\left|x \right|}{a}} * 1 dx \\ \\ \int_{-\infty }^{+\infty }{\exp \frac{-\left|x \right|}{a}} = a {\exp \frac{-\left|x \right|}{a}} => N = a {\exp \frac{-\left|x \right|}{a}}^{-1/2}

2. Pour cette question je ne vois pas trop: on n'a pas d'exemples de ce type dans le cours. Je pensais utiliser la formule qui permet de calculer \left<x \right> , sauf que le bornes de l'intégrale seraient x et a, mais je ne vois pas comment ça influence l'intérieur de l'intégrale.

Malheureusement, la séance de TD ayant lieu après le jour de remise des exercices, je n'ai aucun exemple de résolution d'exos de ce type, et j'ai du mal à en trouver des corrigés sur internet, histoire de comprendre l'application de toutes ces formules très abstraites. Pourriez-vous me conseiller un quelconque site (ou vidéos)?

Merci!

Jorg

Posté par
vanoisere : Fonction d'onde, méca quantique 15-10-16 à 19:52

Bonsoir,
N est une constante, pas une expression dépendant de x ! Si tu as un peu de mal avec l'intégration pour tenir compte de la valeur absolue de x, décompose ton calcul en 2 :

1=N^{2}\cdot\left[\intop_{-\infty}^{0}\exp\left(\frac{x}{a}\right)\cdot dx+\intop_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{x}{a}\right)\cdot dx\right]
Pour la 2 : il y a une maladresse d'énoncé : x ne doit pas désigner à la fois la variable d'intégration et une position fixe sur l'axe. Il vaudrait mieux écrire : "Calculer la probabilité que une moyenne de l'observable de position soit comprise entre xo et a "

Posté par
Jorg2re : Fonction d'onde, méca quantique 16-10-16 à 12:06

Bonjour,
merci, je viens de recalculer l'intégrale, voici mon calcul:
\left[exp\frac{x}{a} \right] = F(0)-F(-\infty ) = a \\ \left[exp\frac{-x}{a} \right] = F(+\infty)-F(0 ) = a \\ \Rightarrow N^2 = \frac{1}{2}a

J'ai rectifié dans l'énoncé avec x0, il est vrai que ça fait plus de sens à présent! J'ai utilisé la formule:
\left<x \right> = \int_{x_{0}}^{a}{dx \left|\psi (x).\exp(-ikt) \right|^2}
Mon exponentielle est égale à 1, je sors les constantes de l'intégrale:

\left<x \right> =\frac{1}{4} a^2 \int_{x_{0}}^{a}{dx \exp \frac{-\left|x \right|}{a}*x}

J'ai toujours quelques problèmes pour calculer cette primitive, mais ça peut s'arranger! Seulement je voudrais être sûre de ne pas m'égarer avant de faire le calcul: est-ce que cette formule vous semble correcte?

Merci!

Posté par
vanoisere : Fonction d'onde, méca quantique 16-10-16 à 14:50

Bonjour
D'accord avec toi pour l'expression de N2 !
Pour ton intégrale de la question 2,  je crois qu'il faut faire 2 calculs différents, suivant que xo est positif ou négatif. Je trouve tout de même la question posée de façon ambiguë. Ne s'agirait-il pas tout simplement de trouver la probabilité pour que x soit compris entre xo et a... On aurait alors :

P=\intop_{x_{0}}^{a}\Psi^{2}\cdot dx ???
Là encore, il faudrait différentier les cas xo positif ou négatif ???
En revanche, la question 3 est claire : le carré de la dispersion vérifie :

\left(\varDelta x\right)^{2}=<x^{2}>-<x>^{2}=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{2}\cdot x^{2}\cdot dx-\left[\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{2}\cdot x\cdot dx\right]^{2}

Posté par
Jorg2re : Fonction d'onde, méca quantique 16-10-16 à 22:24

Super!
Pour le 2, je vais tenter de demander des précisions.
Par contre, je n'arrive pas à calculer les primitives pour le 3, même en décomposant l'intégrale comme pour la question 1, le x^2 me gêne et je ne vois pas quelle technique d'intégration utiliser. Pourriez-vous m'en indiquer une?

Posté par
Jorg2re : Fonction d'onde, méca quantique 16-10-16 à 22:30

Pour le second membre, j'obtiens :
\frac{1}{4} * a^6 * x^2

Posté par
vanoisere : Fonction d'onde, méca quantique 16-10-16 à 23:07

x\cdot\Psi^{2} est une fonction impaire de x ; le résultat du calcul intégral est donc évident : la valeur moyenne de x est nulle.
x^2\cdot\Psi^{2} est une fonction paire de x ; cela simplifie le problème, en particulier celui de la valeur absolue.
Tu as néanmoins besoin de déterminer la primitive de x\cdot\exp\left(-\frac{x}{a}\right)  pour trouver ensuite une primitive de x^2\cdot\exp\left(-\frac{x}{a}\right).
Pour la première : une intégration par partie en posant : u(x)=x et v'(x)=exp(-x/a) est possible. Pour la seconde : une intégration par partie en tenant compte du premier résultat est aussi possible.
On obtient, sauf erreur de ma part, à une constante arbitraire près :

\int x\cdot\exp\left(-\frac{x}{a}\right)dx=-a\left(a+x\right)\exp\left(-\frac{x}{a}\right)

\int x^{2}\cdot\exp\left(-\frac{x}{a}\right)dx=-a\left(2a^{2}+2a.x+x^{2}\right)\exp\left(-\frac{x}{a}\right)

  

Posté par
Jorg2re : Fonction d'onde, méca quantique 17-10-16 à 18:24

Merci!
J'ai pu demander au prof pour la question 2, il s'agit d'un x constant, n'importe lequel.

Posté par
vanoisere : Fonction d'onde, méca quantique 17-10-16 à 18:48

Citation :
il s'agit d'un x constant, n'importe lequel.

Il vaut donc mieux le noter xo.
Cela dit : je ne comprends toujours pas bien la question. La valeur moyenne de x est parfaitement déterminée ; elle vaut :

<x>=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{2}\cdot x\cdot dx=0
Puisque a>0 : si xo0 , il est certain que la valeur moyenne de x est comprise entre xo et a ; donc P=1. Si xo>0 il est certain que la valeur moyenne de x n'est pas comprise entre xo et a ; donc P=0.
Est-cela le sens de la question ?
Je n'en suis pas sûr, d'où mon interrogation du l'autre jour :"Ne s'agirait-il pas tout simplement de trouver la probabilité pour que x soit compris entre xo et a... On aurait alors :

P=\intop_{x_{0}}^{a}\Psi^{2}\cdot dx ??? "


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