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Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ?

Posté par
alexyuc 08-04-13 à 19:15

Bonjour,

Je revois le programme de sup où l'on demande pour les filtres quelle est la pulsation de coupure ?

Par définition la pulsation de coupure est \omega_c = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}}

Mais je ne me rappelle plus comment déterminer G_{max}

Par exemple, pour un filtre passe-bas, j'ai la fonction de transfert

H = \frac{H_0}{1+jx} où x = \frac{\omega}{\omega_0}  (je ne précise pas \omega_0 sinon autant donner l'exo ^^)

Après distinction des BF et de HF : GdB = 20log(H_0) ou GdB = 20log(H_0) - 20log(x)

Et on dit G(x_c) = \frac{G_max}{\sqrt{2}} = \frac{|H_0|}{\sqrt{1+x_c^2}}

La première chose qui me perturbe c'est :
G(x_c) = \frac{G_max}{\sqrt{2}}  ce n'est pas \omega_c qui doit être égal à ça ??

Deuxièmement pourquoi G_{max} = |H_0| ?

Merci pour votre lecture et vos réponses !

Cordialement,
Alex

Posté par
alexyucre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 08-04-13 à 19:22

Je me corrige immédiatement en disant que c'est

G(\omega_c) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}}

mais pourquoi utilise-ton parfois ?

G(x_c) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}}

Et l'autre question précédente sur H_0 reste aussi valable :/

Merci encore

Posté par
Aragornre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 08-04-13 à 22:19

Bonsoir,
x pourrait s'appeler la "pulsation réduite". La pulsation de coupure est égale à 1. Les calculs sont plus faciles et plus généraux parce qu'on n'a pas besoin de préciser une fréquence de coupure précise...
Si tu veux te convaincre que G_{max}\,=\,|H_0|, tu peux calculer \frac{dG}{d\omega}   ou   \frac{dG}{dx}   et chercher la valeur qui donne un maximum ... Tu devrais trouver  \omega\,=\,0  ou  x\,=\,0

Posté par
alexyucre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 08-04-13 à 23:04

Bonsoir,

En effet, merci pour ta réponse et ta petite astuce !

Seulement, dans quel cas utilise-t-on G(\omega_c) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} et dans quel cas G(x_c) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}}

Posté par
Aragornre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 09-04-13 à 11:18

En général, on te le précise...
G(\omega) , c'est pour un filtre particulier dont on précise la fréquence de coupure par exemple (ou les éléments).
G(x) , c'est pour démontrer des propriétés générales (calcul de l'amplitude, de la phase, du retard par exemple) pour un type de filtre répondant à une équation particulière (filtre du 1er ordre, du second ordre, Butterworth, Tchebytchev,...). Il n'est pas alors utile (et même nuisible) de préciser une fréquence de coupure.

Posté par
Mahlereore : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 15-05-15 à 16:32

Bonjour,

Je dois trouver la pulsation de coupure w_c commune à ces deux fonctions de transfert :

H1(w) = (jw - 100) / (jw + 100)        ;         H2(w) = 10 / (jw + 100)

On m'a demandé précédemment de calculer le module de H1(w) (son amplitude) qui est égal à 1.
Est-ce H1(w)max ?

J'ai beau appliquer la définition G(\omega_c) = \frac{G_{max}}{\sqrt{2}} je ne trouve pas de résultat satisfaisant. Pour la deuxième fonction de transfert, je trouve une pulsation négative...

Merci pour vos coups de pouce !

Gus

Posté par
Aragornre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 15-05-15 à 23:17

Bonsoir,
H_1(\omega)_{max}\,=\,1 , en effet, puisque H_1(\omega)\,=\,1 quel que soit  \omega . C'est un filtre passe-tout.

\Large H_1(\omega)\,=\,\frac{-100+j\omega}{100+j\omega}\,=\,-\,\frac{1-j\frac{\omega}{100}}{1+j\frac{\omega}{100}}

\Large H_2(\omega)\,=\,\frac{10}{100+j\omega}\,=\,\frac{10}{100}\,\frac{1}{1+j\frac{\omega}{100}}\,=\,\frac{1}{10}\,\frac{1}{1+j\frac{\omega}{100}}

La pulsation de coupure commune à  H_1(\omega)  et  à  H_2(\omega) est    \omega_c\,=\,100\,\,rad.s^{-1}

Posté par
Mahlereore : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 16-05-15 à 09:16

Merci Aragorn pour votre réponse.

Cependant, il y a quelque chose qui m'échappe : si l'on considère que w_c = 100 rad/s, on trouve que H2(w_c) = (1/10)*(1/sqrt{2}) et non (1/sqrt{2}).
Le facteur (1/10) me gêne dans le calcul et je ne trouve pas de valeur de gain égale à -3dB.

Idem pour H1(w_c), je n'arrive pas à vérifier le résultat.

Des conseils ?

Merci encore,

Gus

Posté par
Aragornre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 16-05-15 à 19:39

Il faut faire :
\Large \frac{|H(\omega_c)|}{|H(\omega)_{max}|}

Pour  H_2(\omega)  :
\Large \frac{|H_2(\omega_c)|}{|H_2(\omega)_{max}|}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}
\Large |H_2(\omega_c)|\,=\,\sqrt{\frac{1}{10}}\,\frac{1}{ \sqrt{ 1+\left(\frac{\omega_c}{100}\right)^2\, } }
\Large |H_2(\omega)_{max}|\,=\,\sqrt{\frac{1}{10}}
Donc :
\Large \frac{|H_2(\omega_c)|}{|H_2(\omega)_{max}|}\,=\,\frac{1}{ \sqrt{ 1+\left(\frac{\omega_c}{100}\right)^2\, } }\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}
Donc :
\Large \sqrt{ 1+\left(\frac{\omega_c}{100}\right)^2\, }\,=\,\sqrt{2}
\Large 1+\left(\frac{\omega_c}{100}\right)^2\, \,=\,2
\Large \left(\frac{\omega_c}{100}\right)^2\, \,=\,1
Donc :
\Large \frac{\omega_c}{100}\,=\,1\,\Rightarrow\,\omega_c\,=\,100


Pour   H_1(\omega) ,   |H_1(\omega)|\,=\,1\,\,\,\forall\,\omega
Donc :
\Large \frac{|H_2(\omega_c)|}{|H_2(\omega)_{max}|}\,=\,1\,\,\,\forall\,\omega
Il s'agit d'un filtre passe-haut au numérateur et d'un filtre passe-bas au dénominateur qui se compensent pour tout  \omega, mais la fréquence de coupure du numérateur et du dénominateur est aussi \omega_c\,=\,100

Posté par
Aragornre : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 16-05-15 à 19:40

Il s'agit d'un filtre passe-haut au numérateur et d'un filtre passe-bas au dénominateur qui se compensent pour tout  \omega ==> ce qui donne un filtre passe-tout.

Posté par
Mahlereore : Filtres, pulsation de coupure, déterminer Gmax ? 17-05-15 à 09:25

Merci beaucoup pour vos explications Aragorn, c'est beaucoup plus clair maintenant.

Bonne continuation,

Gus


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