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filtrage d'un signal triangulaire

Posté par
Kiecane 02-12-17 à 22:19

Bonsoir,

Je prépare un TP pour la semaine prochaine et j'aurais besoin d'aide.

Voici l'énoncé:
La décomposition en série de Fourier d'un signal triangulaire (amplitude E, pulsation \omega =\frac{2\pi }{T}) s'écrit :
U_{e}(t) =\frac{8E}{\pi ^2}[\sum_{p=0}^{ infini}{\frac{1 }{(2p+1)^2}cos[(2p+1)wt]]}
On choisit un signal triangulaire d'amplitude E=5,0V et de fréquence f=1,00kHz.

1. Donner l'expression littérale puis numérique des fréquences et des amplitudes des trois premières composantes de U_{e}(t).
On note V_{m(2p+1)} l'amplitude de l'harmonique (2p+1)

2.Calculez le rapport des amplitudes \frac{V_{m3}}{V_{m1}} puis \frac{V_{m5}}{V_{m1}}. Conclure. Pourquoi se limite-t-on à l'étude des trois premiers termes ?

Lorsqu'un signal est mesuré à l'oscilloscope, il est normalement visualisé dans le domaine temporel. Il existe également un mode de l'oscilloscope où l'on peut étudier les signaux dans le domaine fréquentiel, il s'agit du mode FFT.
L'amplitude est donnée en décibel définie telle que :
V_{dB}=20log(V_{eff})=20 log(\frac{V_{m}}{\sqrt{2}})=20log(V_{m})-3,0
avec V_{eff} tension efficace en volt et V_{m} amplitude en volt du signal considéré.

3.Calculez V_{dB1}, V_{dB2} et V_{dB3}, amplitude en décibel des trois premières composantes de Ue(t).

Pour l'instant je n'en suis qu'à la question 1. J'ai trouvé l'expression de l'amplitude c'est : \frac{8E}{\pi ^2}\frac{1 }{(2p+1)^2} \\ mais je ne sais pas quelle est l'expression de la fréquence (j'ai cherché sur des sites internet mais je n'ai pas trouvé) : est-ce que c'est : cos[(2p+1)wt] ?

Merci d'avance !

Posté par
Kiecanere : filtrage d'un signal triangulaire 02-12-17 à 22:42

Pour le reste j'ai réussi c'était juste des applications numériques

Posté par
vanoisere : filtrage d'un signal triangulaire 02-12-17 à 23:10

Bonsoir
Il me semble plus simple ici de raisonner sur les fréquences avec :

\omega=\frac{2\pi}{T}=2\cdot\pi\cdot f
Je note f la fréquence  de la tension triangulaire.
L'analyse de Fourier montre que cette tension sinusoïdale est une somme de tension sinusoïdales :
1° la tension sinusoïdale de même fréquence que la tension triangulaire, appelée tension fondamentale d'amplitude \frac{8E}{\pi^{2}}
2° des tensions sinusoïdales de fréquences multiples de la fréquence fondamentales : les tensions harmoniques.
La formule fournie contient deux renseignements importants :
1° : seules les harmoniques de fréquences multiples impairs de la fréquence fondamentale sont présentes puisque les pulsations des tensions harmoniques valent (2p+1). Les harmoniques sont donc de fréquences : 3f, 5f, 7f, 9f...
2° : les amplitudes des tensions harmoniques sont inversement proportionnelles au carré du rang : l'amplitude de l'harmonique de fréquence 3f est 9 fois plus petite que l'amplitude de la tension fondamentale ; l'amplitude de l'harmonique de fréquence 5f est 25 fois plus faible que celle de la tension fondamentale... etc... L'amplitude des tensions harmoniques décroit très rapidement en fonction du rang de l'harmonique. Pour cette raison, on conserve habituellement un nombre assez limité d'harmoniques : 2 dans ce problème, 3 ou 4 si on veut davantage de précision...
Tu trouveras ici quelques illustrations correspondant à la tension rectangulaire et à la tension triangulaire. Petite différence : sur le site, la tension triangulaire est décalée : elle possède une valeur moyenne non nulle alors que celle que tu étudies est de valeur moyenne nulle.

Posté par
Kiecanere : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 09:46

Je n'ai pas tout compris.... J'ai été voir sur le site que tu m'as donné et j'ai vu que la formule était donné avec sin donc j'imagine que c'est pour ça que c'est décalé. Du coup, quand on me demande de calculer la fréquence avec la formule qu'on me donne, cela correspond à :
w=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{8E}{\pi ^2}+(2p+1)} ??? Ce que je viens d'écrire me paraît très étrange....

Posté par
J-Pre : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 10:01

Menfin,

w = 2Pi.f
et on te donne f = 1,00 kHz

Posté par
Kiecanere : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 10:11

Oui j'ai remarqué mais je ne comprends pas pourquoi on nous demande les fréquences des trois premières composantes de Ue(t) si on nous la donne..... alors je pensais qu'il y avait une formule compliquée cachée derrière tout ça

Posté par
Kiecanere : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 10:24

Ensuite on me donne la formule U_{s}(t)=\sum_{p=0}^{infini}{S_{m(2p+1)}cos[(2p+1)wt+\varphi_{(2p+1)} ]}
et on me demande de calculer Sm1. Comment je fais pour savoir la formule de S_{m(2p+1)} ???

Posté par
J-Pre : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 10:47

Citation :
" je ne comprends pas pourquoi on nous demande les fréquences des trois premières composantes de Ue(t) si on nous la donne..."


Relis le message de vanoise ... et surtout tâche de le comprendre.

"les pulsations des tensions harmoniques valent (2p+1).w"

p = 0 correspond au fondamental, dont la pulsation est w

p = 1 --> (2p+1) = 3 correspond à l'harmonique 3, sa pulsation est 3w

p = 2 --> (2p+1) = 5 correspond à l'harmonique 5, sa pulsation est 5w

...

Posté par
Kiecanere : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 11:43

Ah ok je n'avais pas compris Est-ce que tu pourrais m'éclairer aussi sur la question que j'ai posé à 10h24 (c'est le message juste avant ta dernière réponse)

Posté par
vanoisere : filtrage d'un signal triangulaire 03-12-17 à 18:51

Citation :
Je n'ai pas tout compris....

Tu ne sembles effectivement pas très familiarisée avec ce type de notation.
le cas particulier p=0 correspond à la tension sinusoïdale de même fréquence que la tension triangulaire, ce qu'on appelle la tension fondamentale.
les cas p = 1,2,3... correspondent aux tensions harmoniques de fréquences 3f, 5f, 7f....
Pour la question concernant :
U_{s}(t)=\sum_{p=0}^{infini}{S_{m(2p+1)}cos[(2p+1)wt+\varphi_{(2p+1)} ]}
Il s'agit a priori d'une tension de sortie. J'imagine (j'ai peut-être tort) que la tension triangulaire étudiée précédemment est appliquée à un filtre dont la fonction de transfert H(jf) est connue.
Pour la fréquence (2p+1)f, l'amplitude en entrée est :

V_{(2p+1)}=\frac{8E}{\left(2p+1\right)^{2}\cdot\pi^{2}}
L'amplitude de la tension de sortie de cette composante sinusoïdale sera le produit de l'amplitude d'entrée par le module de H à cette fréquence (2p+1)f :

S_{m(2p+1)}=\frac{8E}{\left(2p+1\right)^{2}\cdot\pi^{2}}\cdot|\underline{H}_{(j(2p+1)f)}|
La phase initiale des tensions sinusoïdales d'entrée étant toutes nulles, les phases initiales en sortie seront tout simplement les arguments de H aux fréquences (2p+1)f :

\varphi_{(2p+1)}=\arg\left(|\underline{H}_{(j(2p+1)f)}\right)
Tout cela sous réserve bien sûr d'avoir correctement interprété ton énoncé très peu détaillé...


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