Désolé pour la taille du dessin mais je ne pouvais pas mettre plus gros c'était trop gros sinon.

Au départ le fil inextensible à un longueur l₀, puis la particule M qui à une masse au bout s'enroule autour du cylindre.

De la première relation tu tires avec un produit en croix :

dt = d(l0/v0 - (R/v0) )

tu intègres les deux membres et tu as la solution.

pour la question 2... analyse de forces classique (la tension d'un fil est l'action exercée par celui ci sur un point quelconque qu'il contient ou qu'il touche, comme une masse au bout, une portion élémentaire de fil, etc.)
ou alors, la méthode dite de la définition de l'ingénieur : supposons qu'on coupe le fil. On se retrouve avec deux bouts, collés, qui tentent de s'écarter (vu que le fil est tendu). le tension est la force à exercer (virtuellement !) sur les extrémités des bouts pour qu'ils restent jointifs.

Merci beaucoup, je vais essayer tout de suite!
je n'avais pas du tout penser au produit en croix, trop occupée à chercher beaucoup plus compliqué!
Je vous recontacte en cas de problème!

J'obtiens

= (2v₀*t)/(2l₀-t*R)

Cela me semble étrange!

En fait je suis très mal à l'aise une fois que j'ai dévelloppé et passé toutes les constantes devant pour calculer :

ddt
d**dt
ou encore
dt*dt

Pouvez vous m'aider s'il vous plaît?

Je sais pas comment tu as fait pour te retrouver avec des intégrales doubles (somme de quantités deux fois différentielles)

en sommant la relation que j'ai donné post 3, j'ai :

dt = l0/v0 d - R/v0 d

et :

t = l0/v0 - (1/2) R/v0 ²

ensuite, pour avoir (t), bloquer t, résoudre l'équation du second degré en , et voir laquelle des deux solutions est concrètement possible...

j'obtiens (t) = (1/R)(l0 + sqrt(l0v0 + 2Rv0t)) (mais je suis pas sûr, faut voir avec les CI pour rajouter une constante, etc.)