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Expression série de Fourier : coefficient a0

Posté par
Mahlereo 16-05-15 à 09:27

Bonjour,

D'après Fourier, on peut dire qu'un signal peut se décomposer en somme de sinus et de cosinus.

Dans certains cours, il est noté x(t) = a0 + Somme (sinus + cosinus), mais parfois a0 est affecté d'un facteur 1/2. Quelle est la différence ?

Merci,

Gus

Posté par re : Expression série de Fourier : coefficient a0 16-05-15 à 15:12

Il s'agit simplement d'une affaire de convention.

Le terme d'indice nul correspond à la valeur moyenne du signal $x(t)$ sur une période $T$ :

$a_0=\frac 1 T \int x(t) \mathrm{d}t$ (1)

Les coefficients d'indice supérieur ( $n\geq 1)$ sont eux donnés par la formule générale suivante :

$a_n=\frac 2 T \int x(t) \cos n\frac {2\pi t} T \mathrm{d}t$ (2)

Si l'on prend n=0 dans cette formule générale , on trouve non pas $a_0$ tel que donné par la formule (1) mais $2 a_0$ . Si l'on veut que la formule générale soit valable quelque soit $n\geq 0$ (c'est le choix fait par certains auteurs), il faut donc introduire un facteur $1/2$ pour ce terme de la série de Fourier.

D'où les deux expressions suivantes :

$x(t)=a_0 + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos n\frac {2\pi t} T + b_n \sin n\frac {2\pi t} T \right)$

si l'on calcule $a_0$ avec la formule (1)

$x(t)=\frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos n\frac {2\pi t} T + b_n \sin n\frac {2\pi t} T \right)$

si l'on calcule $a_0$ avec la formule (2)