Niveau école ingénieur

Exo Température d'une sphère

Posté par
enkalus 09-12-15 à 21:31

Bonjour,

J'essaye de résoudre cet exo depuis une semaine mais en vain :
Soit deux corps noirs s et t sphériques de rayons respectifs Rs et Rt
séparés par la distance D. On considère en première approximation que la température
est uniforme et constant e à la surface du corps noir t.
Rs=695.500km et Rt=6370km, D=150.000.000km

1) La température à la surface de s est : 5790K, calculer Ps la puissance totale de et en déduire la puissance surfacique pie,t reçu par t distant de D.

Alors là j'ai fait pie,s=K*ts⁴ et Ps=pie,s * Surface,s=K*ts⁴*4*pie*Rs²=3.9*10²⁶W
Puis pie,t=Ps/4*pie*D² =1380W/m² avec K la constante de Boltzmann

2)On considère que toute la puissance reçue
est absorbée par le disque de la t qui fait face à s. A l'équilibre, cette puissance absorbée est réémise par l'ensemble de la surface de t (sinon elle se réchaufferait constamment).
Calculer la température moyenne à la surface de t dans ce modèle :
Tt=((pie,s)*K)e(1/4) ==> 394K = 121°C

3)En faite, 30% de Pt reçu est réfléchie(albédo), en déduire Tt' :
du coup je fais Tt'=((pie,s*0.7)*K)e(1/4) ?

Enfin on a : A travers l'effet de serre, l'atmosphère joue en fait un rôle important dans l'équilibre thermique de la Terre. Onmodélise l'atmosphère comme un corps«gris», ie. un corps "gris" qui :
-renvoie directement 30% du rayonnement
provenant de s (albédo)
-répartit le reste entre 50% absorbé et 50% transmis au sol de t
-absorbe complètement le rayonnement issu de la Terre
-émet un rayonnemnt de corps noir
4)Que valent à l'équilibre, en fonction de Pr la puissance totale reçue par le disque de la sphère t faisant face à s, les puissances Pa et Pt émises respectivement par l'atmosphère dans toutes les directions et par la Terre vers l'atmosphère
?
5) En déduire la température qu'il fait à la surface de t dans ce modèle
6) Dans les faits Tt=15°C à sa surface, proposer une interpretation de la différence des résultats obtenues

C'est pour ces trois dernières réponses que je sèche

merci d'avance

Posté par re : Exo Température d'une sphère 10-12-15 à 16:21

Bonjour,

Je suis d'accord avec tes calculs en ce qui concerne la puissance totale rayonnée par le soleil et la puissance surfacique rayonnée au niveau de la terre : $\Pi s=1380W/m^{2}$ .
Je ne suis pas d'accord avec tes calculs de températures ; ils ne sont pas réalistes puisqu'il s'agit de montrer que, sans l'effet de serre, la température moyenne de la surface terrestre serait beaucoup plus faible : il faut donc trouver nettement moins de 15°C à la seconde question ! Je crois avoir trouvé ton erreur : La puissance reçue par la terre est celle que recevrait un disque de rayon Rt placé à la distance D du centre du soleil et perpendiculaire à la droite passant par les centres du soleil et de la terre. En absence d'atmosphère, cela donne :
$P_{r}=\pi Rt^{2}\cdot\Pi s$
En revanche, la terre rayonne sur toute sa surface que l'on considère à la même température Tt. La puissance perdue par rayonnement s'écrit :
$P_{p}=4\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{t}^{4}$
A l'équilibre cela conduit à :
$\Pi s=4\sigma T_{t}^{4}$
L'application numérique conduit à 279K soit 6°C.
Si on tient compte de l'atmosphère sans effet de serre, il faut, comme tu l'as fait multiplier la puissance surfacique par 0,7. Cela conduit à une température de 255K soit -18°C. Sans l'effet de serre, la terre serait recouverte de glace !
La troisième question est plus délicate : il faut faire un bilan thermique pour la terre et pour l'atmosphère de température moyenne Ta.
Bilan pour l'atmosphère : elle reçoit du soleil la puissance 0,35.Pr plus la puissance rayonnée par la terre :
$P_{1}=0,35\pi Rt^{2}\cdot\Pi s+4\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{t}^{4}$
Cette puissance est entièrement rayonnée : 50% vers la terre, 50% vers l'extérieur. L'épaisseur de l'atmosphère étant très faible devant le rayon terrestre, nous allons supposer qu'elle est rayonnée par une sphère de rayon Rt ; ainsi à l'équilibre :
$P_{1}=0,35\pi Rt^{2}\cdot\Pi s+4\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{t}^{4}=4\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{a}^{4}$
Après simplification :
$0,35\Pi s=4\sigma T_{a}^{4}-4\sigma T_{t}^{4}$
Bilan pour la terre : elle reçoit du soleil la puissance 0,35Pr plus 50% de la puissance rayonnée par l'atmosphère :
$P_{2}=0,35\pi Rt^{2}\cdot\Pi s+2\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{a}^{4}$
A l'équilibre, cette puissance reçue doit être égale à celle rayonnée :
$P_{2}=0,35\pi Rt^{2}\cdot\Pi s+2\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{a}^{4}=4\pi Rt^{2}\cdot\sigma T_{t}^{4}$
Après simplification :
$0,35\Pi s=4\sigma T_{t}^{4}-2\sigma T_{a}^{4}$
Pour éliminer Ta, on multiplie par deux tous les coefficients de cette équation et on fait une ” addition membre à membre" avec celle obtenue précédemment :
$1,05\Pi s=4\sigma T^{4}$
L'application numérique conduit à 283K soit 10°C.

Ce modèle est très grossier ; en particulier, en ce qui concerne l'atmosphère. De plus, il ne tient pas compte du phénomène de transfert thermique par conduction du centre de la terre (noyau à température très élevée) vers sa surface, ce qui augmente légèrement la température en surface de la terre.

Posté par re : Exo Température d'une sphère 10-12-15 à 16:50

Pour moi, tes réponses 2 et 3 sont fausses.

Les 1380 W/m² trouvé en 1, le sont pour une surface normale de la Terre au rayon du soleil.

Dit autrement, l'aire à considérer pour la Terre (pour la réception de la puissance solaire) est celle d'un disque de rayon Rt et pas celle d'une demi sphère de rayon

Puissance reçue par la Terre : P = 1380 * Pi.Rt/²

La puissance réémise par la Terre (avec TOUTE la terre à la temperéture moyenne) l'est ici à partir d'une aire égale à 4Pi.Rt²

--> 1380 * Pi.Rt² = Sigma * T^4 * 4Pi.Rt²

1380 = Sigma * T^4 * 4

T^4 = 1380/(4 * 5,67.10^-8)

T = 279,17 K

Tt = 279,17 K (soit environ 6°C)
-----
3)

0,7 * 1380 * Pi.Rt² = Sigma * T^4 * 4Pi.Rt²

T^4 = 0,7 * 1380/(4 * 5,67.10^-8)

Tt' = 255,47 K (soit environ -18°C)
-----

On voit par exemple sur ce site : http://www.captage-stockage-valorisation-co2.fr/faq/2205 , qu'on y mentionne que :

Quelle serait la température de la Terre sans l'effet de serre ?

Elle ne dépasserait pas les -18 °C !

Cela colle avec ce que j'ai trouvé en question 3.

L'effet de serre est introduit dans l'énoncé pour les questions 4 à 6... que le n'ai pas eu le courage de tenter de résoudre.

Posté par re : Exo Température d'une sphère 10-12-15 à 16:50

Fichtre, double emploi.

Posté par re : Exo Température d'une sphère 10-12-15 à 17:38

Bonjour ! Merci beaucoup à vous deux ! J'ai compris ce qui n'allait pas dans mes calculs !

Encore merci, vos postes sont clairs, ils m'ont beaucoup aider.

Enfin, j'émettais un petit doute sur une question de moyenne : <x> pour un exo :

Soit une onde caractérisée par la vitesse des particules du milieux : v1(x,t)=V1*cos(w*t-k*x).
Le seuil d'audibilité défini à 1000Hz est <pie0>=10^-12W/m^2. On a po=1.2Kg/m^3 et c=340m/s.

1) Determiner LE DEPLACEMENT des particules de l'air pour un son d'intensité égale au seuil d'audibilité :

J'ai fait <pie>=<pie0> <=> po*c*<v1(x,t)>^2=po*c*V1^2*(1/2)=<pie0> alors V1=7*10^-8m/s ????

2) En déduire la puissance surfacique max pour une onde sonore dans l'air
Alors j'ai fait on a cela quand v1=c soit piem=po*c^3=4.7*10^7W/m^2

3)A quelle intensité acoustique cela correspond :

I=10*log(<piem>/<pie0>)=196dB

dans tout cet exos j'ai l'impression de mélanger <pie> et pie :/

Merci d'avance

Posté par re : Exo Température d'une sphère 10-12-15 à 19:44

Pour l'onde acoustique plane :
la puissance par unité de surface vaut :
$\Pi=\rho cv^2$
L'intensité sonore est la valeur moyenne de . Sachant que la valeur moyenne sur une période du carré d'un grandeur sinusoïdale est la moitié du carré de l'amplitude, on obtient effectivement :
$I=<\Pi>=\frac{1}{2}\rho cV_{0}^{2}$
Pour I=10^-12W/m², on obtient ton résultat.
Le cas limite correspond à V₀=c, donc :
$I_{max}=<\Pi>_{max}=\frac{1}{2}\rho c^{3}$
Le niveau maximum d'intensité sonore est ainsi :
$L_{max}=10\log\left(\frac{1,2\cdot\left(340\right)^{3}}{2.10^{-12}}\right)\approx193,7dB$
Sachant que 10log(2)3 , je me demande si tu n'as pas oublié le 2 !

Posté par re : Exo Température d'une sphère 10-12-15 à 20:17

Super merci, oui en effet j'avais oublié le facteur 1/2 vue que je m'emmêle les pinceaux avec les valeurs régulières et moyennes !

Encore merci pour tout !

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Exo Température d'une sphère

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique