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Exo dynamique: oscillations d'1 plaque sur 2 cylindres tournants
Bonjour!
J'ai quelques soucis avec un exo que voici:
Une planche mince et homogène repose sur deux cylindres tournant en sens inverses à vitesse angulaire 
. A l'instant initial, la planche est abandonnée sans vitesse, son centre de gravité étant situé à la distance x0 de l'origine O d'un référentiel R galiléen. La planche est susceptible de se déplacer horizontalement le long de Ox et le point de référence O est situé à égale distance (l) des axes des deux cylindres. le coefficient de frottement entre la planche et chacun des cylindres est f.
1. Déterminer les composantes verticales des réactions des deux cylindres sur la planche en fonction de l'abscisse x de G.
2. On suppose que la planche glisse sans cesse sur les deux cylindres, montrer que la planche effectue des oscillations dont on donnera la période.
Je poste dans un instant ce que j'ai fait. Je noterai N1 et N2 les composantes verticales T1 et T2 les composantes horizontales de la réaction. Ox est dirigé vers la droite, Oy vertical ascendant.
1.Déterminons N1 et N2 (N1 est situé à gauche de Oy, N2 à droite)
En appliquant le PFD en G j'obtiens après projection sur les axes
-mg+N1+N2=0
T1+T2=mx¨(x¨=d²x/dt² et les italiques c'est pour valeur algébrique)
N2(l-x)-N1(l+x)-mgx=0
finalement N1=mg(l-2x)/(2l) N2=mg(l+2x)/(2l)
2. Montrons que la planche effectue des oscillations périodiques
On note I1 et I2 les points de contacts planche-cylindre
le glissement en I1 et en I2 donne deux équations supplémentaires
T1=fN1 (T1.v(I1)<0)
T2=FN2 (T2.v(I2)<0)
je tire des cinq équations (gf/2L)(l(
1+2)+2x(2-1))=x¨
où =+1 ou-1
Et là je n'arrive pas à déterminer les . Vu la question je sais bien qu'ils sont de signe contraires autrement le x disparait de mon équation et je n'ai plus d'oscillations. Par ailleus je sais que je veux obtenir une solution sinusoïdale donc leur somme doit être négative j'en déduis que 1=1 et 2=-1.
Ce qui me permet de trouver T=2
(l/(2gf))
Au final j'ai ma période(?) mais j'ai utilisé le mouvement oscillatoire au lieu de le montrer.
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