Bonjour,

pour déterminer le module du vecteur vitesse pour un angle thêta, il faut faire le bilan de l'énergie de la bille au point thêta = 0 où il est simple à faire puisque comme c'est le point le plus bas elle ne possède pas d'énergie potentielle mais seulement l'énergie cinétique qu'on lui donne à ce point :
Somme des énergies(en thêta=0)  =  (½) . m .V0²

Il faut faire ensuite le bilan de l'énergie pour un angle thêta différent de zéro. Dans ce cas la bille possèdera une énergie cinétique ( ½ ) . m . v²  et  une énergie potentielle car elle aura pris de l'altitude par rapport à sa position de repos qu'on considérera comme la référence de l'altitude. La connaissance de l'angle thêta permet de déterminer l'énergie potentielle emmagasinée. En partant du principe qu'il y a conservation de l'énergie, on en déduit l'énergie cinétique restante, puis le module du vecteur vitesse linéaire pour un angle thêta. La seule petite complication se situe au niveau du calcul de l'altitude, mais en décomposant le problème, il reste assez simple :
Pour un angle thêta le nouveau point de fixation du fil peut être considéré comme étant le point de tangence du fil sur le cylindre. L'altitude du point de fixation à donc baissé de  A.sin(thêta), mais le fil peut être considéré comme ayant été raccourci de la longueur de l'arc d'enroulement supplémentaire sur le cylindre :
Raccourcissement du fil = A . thêta    , avec thêta en radians
Finalement l'altitude prise par la bille pour un angle thêta est :
Altitude  =  L0  -  A . sin(thêta) + A . thêta  -  (L0 - A . thêta) . cos(thêta) ,   où   (L0 - A . thêta) représente la longueur restant libre du fil. En arrangeant un peu :
Altitude  =  L0 . [1 - cos(thêta)]  +  A . thêta . [1 + cos(thêta)] -  A . sin(thêta)
Energie pour un angle thêta  = ( ½ ) . m . v²  +  m . g . { L0 . [1 - cos(thêta)]  +  A . thêta . [1 + cos(thêta)] -  A . sin(thêta)}
Sachant que cette énergie vaut aussi ( ½ ) . m . V0²,  il reste à extraire v de cette égalité.
J'espère ne pas avoir fait d'étourderie.

Au revoir.

oui c'est exactement ce que j'ai fini par trouver merci j'etais pas sur de moi

Pas confiance en toi, ou en moi ?

Voir ici:

Il y a un A.theta de différence avec la réponse de  muddling through, reste à trouver la petite erreur .

Bonjour tout le monde,

Merci J-P de ton intervention car je me suis effectivement trompé en enlevant deux fois une longueur A.thêta.
Excuse moi Djodjo89, de t'avoir induit en erreur, mais il est vrai que le raccourcissement du fil libre d'une longueur A.thêta, dû à l'enroulement, est pris en compte dans le terme (L0-A.thêta).cos(thêta), je ne devais donc pas le compter une deuxième fois en ajoutant le terme + A.thêta, qu'il faut donc retirer. Il reste :

Altitude  =  L0  -  A . sin(thêta) -  (L0 - A . thêta) . cos(thêta)

Energie pour un angle thêta  = ( ½ ) . m . v²  +  m . g . [ L0  -  A . sin(thêta) -  (L0 - A . thêta) . cos(thêta)]

( ½ ) . m . V0²  =  ( ½ ) . m . v²  +  m . g . [  L0  -  A . sin(thêta) -  (L0 - A . thêta) . cos(thêta)]

( ½ ) . m . v²  =  ( ½ ) . m . V0²  -  m . g . [  L0  -  A . sin(thêta) -  (L0 - A . thêta) . cos(thêta)]

v²  =    V0²  -  2 . g . [  L0  -  A . sin(thêta) -  (L0 - A . thêta) . cos(thêta)]

On doit donc bien trouver un résultat conforme à celui de J-P.

Au revoir.