Bonjour à tous, tous d'abord voici l'exercice :

L'alimentation électrique des trains se fait par l'intermédiaire d'un câble indéformable (la caténaire),
horizontal au repos, de masse linéïque μ, tendu avec une force de tension de norme F0 et suspendu
par de petits câbles verticaux régulièrement espacés (la suspension caténaire). Le contact électrique
avec la locomotive est assuré par un bras articulé (le pantographe). Celui-ci soulève le câble lors de
son passage ce qui génère une onde transverse.

1) On s'intéresse dans un premier temps aux
mouvements verticaux z(x, t) du câble au niveau
de son système de suspension (voir figure). On
peut comparer les petits câbles à des ressorts
exerçant sur une longueur élémentaire dx du
câble principal une force verticale T(x,t)=-
K[T,Z](x,t).dx, la loi de Hooke étant supposé
vérifiée.

On considère également que :
- le poids du câble est négligeable devant les forces de tension.
- la position de repos du ressort correspond au câble au repos (position horizontale)
- la force de tension
F( x,t ) du câble fait des petits angles theta(x,t) par rapport à l'horizontal.

1-a) En vous appuyant sur le principe fondamental de la dynamique appliqué à un tronçon de câble
au niveau de l'attache, déterminez l'équation de propagation de l'onde.

(il y a également un schéma mais je ne sais pas comment le poster sur ce forum)
J'appelle T0(x,t) et T0(x+dx,t) les forces de tension sur le tronçon de cable.

Donc pour répondre à cette question, j'ai appliqué le PFD au tronçon dm=mu.dx
Je projette ensuite sur l'axe horizontal et j'en conclus que les forces de tensions ont une norme équivalente T00.
Je projette ensuite sur l'axe vertical:

T00(-sin[theta(x,t)]+sin[theta(x+dx,t)] - K[Z,T]dx.z = mu.dx.^dz/d^t

Je suis bloqué par deux choses:
Premièrement, je ne comprends pas pourquoi lorsque je projette verticalement un "z" apparait avec K[Z,T]. Je l'ai ajouté car "ça marche bien" par la suite.
Deuxièmement, si je continue mon calcul, je remplace le sinus par cos * tan et j'approxime le cosinus a 1 ( petits angles )et je simplifie par dx pour me retrouver avec le terme:

[tan theta(x+dx,t) - tan theta(x.t)]/[dx]
Et comme je cherche l'équation de propagation, je reconnais une dérivée partielle par rapport à x mais ai-je le droit de directement remplacer "tan theta(x,t)" par z(x,t) ?

J'espère que j'ai été assez clair dans mes explications.