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exercice serie de fourier

Posté par
julienfrom26 25-11-10 à 18:53

j'ai plein de question mais je bloque à la premiere

alors si quelqu'un peut m'eclairer

la question est calculer le developpement en série de fourier de v(t)

j'ai trouvé ca :

An= 2/T0(E.cos(n0t)dt,0,t1/2)+2/T0(-E.cos(n0t)dt,T0/2-t1/2,T0/2+t1/2)+2/T0(E.cos(n0t)dt,T0-t1/2,T0)
An=2E/(nT0)[sin(n0t1/2)-0]-2E/(nT0)[sin(n0)(T0/2+t1/2)-sin(n0)(T0/2-t1/2)]+2E/(nT0)[sin(n0T0)-sin(n0)(T0-t1/2)]
An=2E/(nT0)[sin(n0t1/2)-sin(n0)(T0/2+t1/2)+sin(n0)(T0/2-t1/2)]+sin(n0T0)-sin(n0)(T0-t1/2)]

à partir de la...je remplace 0 par sa valeur donc 0=2/T0

An=E/n[sin((nt1/T0)-sin(n1+t1/T0))+sin(n(1-t1/T0))+sin(2n)-sin(n(1/2-t1/T0))]
An=E/n[sin(nt1/T0)-sin(n+nt1/T0)+sin(n-nt1/T0)-sin(n/2-nt1/T0)]

exercice serie de fourier

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 19:59

Bonsoir,
Je pense que les intégrales sont fausses...
3$\frac{2}{T_0}\,\int_0^{\frac{t_1}{2}}E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,\frac{2E}{n\omega_0T_0}\Big[sin(n\omega_0t)\Big]_0^{\frac{t_1}{2}}\,
Même chose pour les autres...

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 20:04

a oui exact! une erreur de base j'avais meme pas vu
merci je vais la retenter

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 20:10

si tu regardes les 2 derniers developpement que j'ai mis on voit clairement que c'est un oublie de recopiage que j'ai fait

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 20:15

OK... Je vérifie

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 20:22

An=2E/(nw0T0)[sin(nw0t1/2)-0]-2E/(nw0T0)[sin(nw0)(T0/2+t1/2)-sin(nw0)(T0/2-t1/2)]+2E/(nw0T0)[sin(nw0T0)-sin(nw0)(T0-t1/2)]

An=2E/(nw0T0)[sin(nw0t1/2)-sin(nw0)(T0/2+t1/2)+sin(nw0)(T0/2-t1/2)]+sin(nw0T0)-sin(nw0)(T0-t1/2)]

An=E/n(pi)[sin((n(pi)t1/T0)-sin(n(pi)(1+t1/T0))+sin(n(pi)(1-t1/T0))+sin(2n(pi))-sin(n(pi)(1/2-t1/T0))]

An=E/n(pi)[sin(n(pi)t1/T0)-sin(n(pi)+n(pi)t1/T0)+sin(n(pi)-n(pi)t1/T0)-sin(n(pi)/2-n(pi)t1/T0)]

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 21:07

Je trouve An = 0

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 21:13

par rapport au element que je t'ai donné ?peux tu m'expliquer merci

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 21:15

Je te mets le calcul des intégrales

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 21:41

La première :
3$\frac{2}{T_0}\,\int_0^{\frac{t_1}{2}}E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,\frac{2E}{n\omega_0T_0}\Big[sin(n\omega_0t)\Big]_0^{\frac{t_1}{2}}\,=\,\frac{E}{n\pi}\,sin(n\omega_0\frac{t_1}{2})\,=\,\frac{E}{n\pi}\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0}

La deuxième :
3$\frac{2}{T_0}\,\int_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2}}-E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,-\,\frac{2E}{n\omega_0T_0}\,\Big[sin(n\omega_0t)\Big]_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2}}\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin n\omega_0(T_0+\frac{t_1}{2})\,-\,sin n\omega_0(T_0-\frac{t_1}{2})\Big)\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin n(2\pi+\pi\frac{t_1}{T_0})\,-\,sin n(2\pi-\pi\frac{t_1}{T_0})\Big)

3$\frac{2}{T_0}\,\int_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2}}-E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin n(\pi\frac{t_1}{T_0})\,-\,sin n(-\pi\frac{t_1}{T_0})\Big)\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin n(\pi\frac{t_1}{T_0})\,+\,sin n(\pi\frac{t_1}{T_0})\Big)\,=\,-\,\frac{2E}{n\pi}\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})

La troisième :
3$\frac{2}{T_0}\,\int_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{T_0}E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,\frac{2E}{n\omega_0T_0}\Big[sin(n\omega_0t)\Big]_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{T_0}\,=\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin(n\omega_0T_0)\,-\,sin(n\omega_0(T_0-\frac{t_1}{2}))\,\Big)\,=\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin(2n\pi)\,-\,sin(n(2\pi-\pi\frac{t_1}{T_0}))\,\Big)\,=\,\frac{E}{n\pi}\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})

Quand on fait la somme des trois intégrales, ça fait 0.

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 21:54

peut etre que ca veut dire que la fonction n'est pas paire mais impair

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:09

Dans la deuxieme integrale pourquoi tu met T0 au lieu de T0/2?

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:12

de meme dans la troisieme?

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:17

Oups ! Je regarde. Il y a peut-être une erreur...

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:20

Citation :
de meme dans la troisieme?

Dans la 3ème, c'est T0

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:23

oui le développement est bon c'est juste au début de l'intégrale quand tu la nomme

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:29

Oui, il y a une erreur dans la deuxième.
Je trouve 3$A_n\,=\,\frac{2E}{n\pi}(1-(-1)^n)sin(n\pi\frac{t_1}{T_0}
donc 3$A_{2p}\,=\,0
et 3$A_{2p+1}\,=\,\frac{4E}{(2p+1)\pi}\,sin((2p+1)\pi\frac{t_1}{T_0}

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:37

Merci de ton aide je suis entrain d'essayer de retrouver la réponse

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:46

je n'arrive pas à retrouver ta solution :s peux tu me mettres le detail de la deuxieme integrale

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:46

La troisième :
3$\frac{2}{T_0}\,\int_{T_0-\frac{t_1}{2}}^{T_0}E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,\frac{2E}{n\omega_0T_0}\Big[sin(n\omega_0t)\Big]_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{T_0}\,=\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin(n\omega_0T_0)\,-\,sin(n\omega_0(T_0-\frac{t_1}{2}))\,\Big)\,=\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin(2n\pi)\,-\,sin(n(2\pi-\pi\frac{t_1}{T_0}))\,\Big)\,=\,\frac{E}{n\pi}\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})
Une tragique erreur de copier-coller

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 22:59

Moi j'arrive à
I2=-E/nsin n0(T0/2+t1/2)-sin n0(T0/2-t1/2))
=-E/n(sin n(+t1/T0)-sin n(-t1/T0))

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 23:02

La deuxième :
3$\frac{2}{T_0}\,\int_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2}}-E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,-\,\frac{2E}{n\omega_0T_0}\,\Big[sin(n\omega_0t)\Big]_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2}}\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin n\omega_0(\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2})\,-\,sin n\omega_0(\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2})\Big)\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin n(\pi+\pi\frac{t_1}{T_0})\,-\,sin n(\pi-\pi\frac{t_1}{T_0})\Big) \\ \\ \frac{2}{T_0}\,\int_{\frac{T_0}{2}-\frac{t_1}{2}}^{\frac{T_0}{2}+\frac{t_1}{2}}-E\,cos(n\omega_0t)\,dt\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin(n\pi+n\pi\frac{t_1}{T_0})\,-\,sin(n\pi-n\pi\frac{t_1}{T_0})\Big)\,=\,-\,\frac{E}{n\pi}\,\Big(sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})cos(n\pi)\,+\,cos(n\pi)sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})\Big)\,=\,-\,\frac{2E}{n\pi}\,(-1)^n\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})

Donc :
3$\frac{2E}{n\pi}\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,-\,\frac{2E}{n\pi}\,(-1)^n\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,\frac{2E}{n\pi}\,(1-(-1)^n)\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})
Si n est pair, n = 2p ==>  An = 0
Si n est impair, n = 2p+1 ==> 3$A_n\,=\,\frac{4E}{(2p+1)\pi}\,sin((2p+1)\pi\frac{t_1}{T_0})

Cela doit être la bonne réponse, cette fois... Toujours un peu laborieux, ces calculs de série  de Fourier...

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 23:08

Citation :
Moi j'arrive à
I2=-E/nsin n0(T0/2+t1/2)-sin n0(T0/2-t1/2))
=-E/n(sin n(+t1/T0)-sin n(-t1/T0))

Moi aussi...
3$sin(n\pi+n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,sin(n\pi)\,cos(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,+\,cos(n\pi)\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})
sin(n) = 0 ==> 3$sin(n\pi+n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,cos(n\pi)\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,(-1)^n\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})
Même chose pour l'autre mais avec un signe - ...

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 23:11

Je te remerci!!! fourier toujours aussi dur, ca fait 5ans que je n'en avais pas fait je vois que c'est toujours prise de tete à un signe pret on perd tout :p

enfin je vais essayer de faire la suite tout seul sans aide en esperant réussir

encore merci

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 23:12

Pour l'autre :
3$-sin(n\pi-n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,-(sin(n\pi)\,cos(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,-\,cos(n\pi)\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0}))\,=\,-sin(n\pi)\,cos(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,+\,cos(n\pi)\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})
sin(n) = 0 ==> 3$-sin(n\pi-n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,cos(n\pi)\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})\,=\,(-1)^n\,sin(n\pi\frac{t_1}{T_0})

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 25-11-10 à 23:15

ok merci je vais essayer de le recalculer la semaine prochaine pour voir si j'ai bien tout compris

Posté par
Marc35re : exercice serie de fourier 26-11-10 à 12:46

Voici le résultat pour n variant de 0 à 20...
Bien sûr, il reste quelques petites oscillations mais on reconnaît le signal duquel on est parti.
Donc le résultat est bon .
Le signal a été tracé pour t1 = 0,2 ms, T0 = 1 ms et E = 1 V.

exercice serie de fourier

Posté par
julienfrom26re : exercice serie de fourier 26-11-10 à 15:59

Tout simplement génial il est clair que je ne vois pas mieux pour démontrer que la réponse est bonne
Merci pour cette réponse complete !


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