Désolé j'ai oublié le sujet de l'exercice le voici

Un ressort de longueur à vide lo et de raideur k est fixé au plafond en O. A son extrémité est attaché un mobile M de masse m repère par son abscisse z tel que la position du mobile soit OM= z uz

1) Réaliser le bilan des forces sur la masse.
2) Établir l'équation de mouvement de la masse.
3) Quelle est la position d'équilibre z_eq. Commenter ce résultat.
4) On introduit la variable u(t)=z(t)-z_eq. Établir l'équation différentiel vérifiée par u(t).
5) Exprimer la période T des oscillations. Commenter, en particulier sur l'influence du champs de pesanteur.
L'objectif de la fin de l'exercice est de voir une autre méthode permettant d'accéder à l'équation du mouvement, basée sur une étude énergétique. Pour cela :
On admet ici que l'énergie potentielle totale du système est la somme de l'énergie potentielle élastique et de l'énergie potentielle de pesanteur, dont on admet à ce stade l'expression :E_pp = -mgz.
6) Calculer l'énergie potentiel et l'énergie cinétique de la masse en fonction de z(t) et de sa dérivée.
7) Écrire la relation traduisant la conservation de l'énergie mécanique. Dériver alors cette expression pour retrouver l'équation du mouvement. Commentaire.


Voila Merci de votre aide à l'avance.  

Bonjour,

Merci de nous fournir ce que vous avez obtenu pour les 3 premières questions

On doit avoir mz" = mg - k(z-z₀) avec z₀ = z(0)

Soit mz"+kz = mg + kz₀

4) On a u(t)=z(t)-z_eq soit en conséquence u'(t)=z'(t) et u"(t)=z"(t)

Donc mu"(t)+ k(u(t)+z_eq) = mg + kz₀

Soit encore mu"(t)+ ku(t) = mg + k(z₀-z_eq)

Bien sûr, on peut ainsi deviner que z_eq = z₀

Pourquoi ?

Pour trouver je pensais qu'il fallait faire la chose suivante :

L'équilibre est atteint quand l'accélération est nulle soit quand z"=0.
On a alors, en isolant z qui correspond à

Pardon, en isolant on a z_{eq}=z_0+mg/k

Pour ma part, puisqu'il n'y a pas d'amortissement, le mobile m va osciller indéfiniment autour de la position z₀=l₀ longueur à vide du ressort

S'il y avait un amortissement, la position au bout d'un certain temps serait celle où les 2 forces se compensent totalement (donc effectivement l'accélération est nulle) et le mobile définitivement immobilisé

Donc dans ce cas  mg-k(z_eq-z₀)=0

Soit mg-kz₀=kz_eq

Soit z_eq=mg/k-z₀=mg/k-l₀

Bonjour à tous

voici un résumé de ce que j'ai répondu au premières questions:
j'ai rappelé le système étudié et le référentiel d'étude
1) BDF:
-Le Poids p= m*g
-La Force de rappel : F_R=-k(l-l₀)_z
2) On applique le PFD au système masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen:
par définition:
m * a = P+F_R
m * a = m*g-k(l-l₀)_z

On projette sur u_z:

u_z: m * z" = -k(z(t)-l₀)+m * g
m * z" = -kz(t)+kl₀+ m * g
m * z" +kz(t) = kl₀+ m * g

On pose ₀= (k/m)

d'où  z" + ₀²z(t) = ₀²l₀+g

3) à l'équivalence :

z_eq= z(t) = constante

donc z"_eq=0

₀²z_eq=₀²l₀+g

z_eq= g/₀² + l₀
z_eq= g * m/k +l₀
z_eq= p/m * m/k +l₀
z_eq= p/k +l₀

Si p > k alors z_eq > 1+l₀
Si p = k alors z_eq = 1+l₀
Si p < k alors z_eq < 1+₀


Donc voilà ce qu'on a fait avec mes camarades jusqu'à maintenant

Merci de votre aide

Si p < k alors zeq < 1+l₀

Pardon de la faute