Bonsoir
Tel qu'il est posé et sans schéma, cet exercice est incompréhensible. Un vecteur champ se caractérise par une direction, un sens et une norme.

effectivement, il s'agit du courant qui génère le champ magnétique B(x,y,z) = a.y.1_x  

où 1_x  est le vecteur unitaire de l'axe X

Voici un schéma :

pour les y > 0 on aura donc un champ magnétique croissant avec y et de même direction que l'axe x tandis que pour les y < 0 on aura un champ magnétique de direction opposée à l'axe x

OK ; il s'agit donc d'appliquer le théorème d'Ampère. Commence par convenablement orienter le circuit puis calcule la circulation du vecteur B le long du carré. La circulation est nulle le long de deux des côtés puisque le vecteur B est perpendiculaire à ces côtés. Pour les deux autres, le calcul se fait de tête... Il faut un schéma soigné indiquant le sens de circulation choisi et le sens du courant créant le champ magnétique.

Le calcul de la circulation du champ magnétique le long du carré :
Je choisis le sens de circulation pour lequel le vecteur courant pointe dans la même direction que le champ magnétique

Pour le coté appartenant aux y < 0 :   B .dl = B . L =  -a/2 L . L

Pour le coté appartenant aux y > 0 :   B .dl = B . L =  a/2 L . L

J'en conclus que la somme de courant passant à travers ce contour est nulle

Maintenant pour un schéma, je ne sais pas m'imaginer quel courant le long de cette paroi pourrait générer un champ uniforme comme lequel on est en présence, de tête je décompose ce carré en pleins de fils électrique, mais aucune somme de fil électrique ne pourrait générer ce champ magnétique...

Je me demande aussi pourquoi je dois faire le calcul de circulation sur un contour qui est le même que le carré ? aucun courant ne traverse un contour confondu dans le carré car le courant passe le long du carré

Comme déjà dit : oriente  ton rectangle ; le sens de circulation est le sens du vecteur B le long d'un côté et le sens opposé pour le côté opposé. La circulation n'est donc pas nulle.
Par ailleurs : le but de cet exercice est d'apprendre à calculer correctement la circulation d'un vecteur ne correspondant pas à un champ uniforme. Pour le reste : cet exercice n'est pas du tout réaliste : je ne connais pas de distribution de courant capable de créer un tel champ...

Donc d'après le schéma, j'aurais :

₀ . I = -2 .a/2 L²

Et donc I = aL² / ₀

C'est bien ça ?

Comment je pouvais savoir que je devais prendre un contour confondu dans le carré ?

Dans quel sens est orientée l'intensité du courant  ?
Connais-tu l'énoncé précis du théorème d'Ampėre ?

Le théorème d'Ampère dis que tout courant est source de champ magnétique

Plus précisément que  l'intégrale de circulation du champ à travers un contour nous donne le courant passant à travers ce contour

En utilisant sa forme locale je sais dire que la densité surfacique de courant a pour équation : -a/₀ . 1_z

Le sens du courant que tu obtiens est correct. Le théorème d'Ampère ne précise pas comment ce courant traverse le cadre carré : on peut imaginer plusieurs fils électriques traversant le cadre, le courant circulant dans le sens des z négatifs comme tu l'as dit. On peut aussi imaginer d'autres courants ne traversant pas le cadre : le théorème d'Ampère ne dit rien sur ces courants.
Attention : parler de courants surfaciques est un modèle correspondant à des courants circulant dans des rubans métalliques, c'est à dire des conducteurs dont l'épaisseur est négligeable devant les autres dimensions du problème. L'expression que tu fournis dans ta dernière phrase correspond à la densité volumique de courant de vecteur j dans le cas très particulier où ce vecteur est colinéaire à (Oz) et identique en tout point du plan (Oxy) à l'intérieur du cadre.  De façon plus générale, l'intensité calculée peut s'écrire comme le flux du vecteur j à travers la surface carrée.

Merci beaucoup pour ton aide !