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Exercice : Intérférences à Deux Ondes
Bonjour
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
Un radio télescope D situé sur un monticule surplombant la mer détecte des ondes électromagnétiques de fréquence 3 MHz provenant d'une étoile. On suppose que ces ondes sont sinusoïdales
de la forme y = a sin (ωt + ϕ), où a, ω et ϕ sont respectivement l'amplitude, la pulsation et la phase à l'origine de l'onde.
1. Quelle est la période d'une telle onde ? La vitesse de la lumière est c = 3.108 m.s−1
. Quelle est la longueur d'onde λ ?
2. Un astronome suit le lever de l'étoile. Les ondes arrivent en incidence rasante et font
un angle θ par rapport au niveau de la mer. Le rayon (1) subit une réflexion totale sans
atténuation, le rayon (2) arrive directement sur le détecteur D, situé à une hauteur H = 300
m au-dessus du niveau de la mer. Soit I1I2 la normale aux rayons incidents (1) et (2).
Aux points I1 et I2, les deux rayons sont en phase, on choisit ϕ = 0 en ces points.
(a) Calculer δ la différence de marche en D en fonction de H et θ.
(b) La réflexion de l'onde (1) sur l'eau fait apparaître un déphasage supplémentaire de π.
En déduire ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 la différence de phase entre les ondes y1 et y2 arrivant sur D
en fonction de δ et λ
(c) Déterminer, en D, l'expression y(D, t) de l'onde résultant de la superposition des ondes y1 et y2.
On donne :
sin p − sin q = 2 cos( p + q)/2sin (p − q)/2
(d) Préciser l'expression de l'amplitude de y et en déduire celle de l'intensité arrivant sur D. Quel phénomène observe-t-on ?
(e) Quelle est la valeur numérique de l'angle θ sous lequel on observe le premier minimum ? Calculer ensuite la valeur de l'angle donnant le maximum immédiatement
suivant.
Je penses avoir réussis la question 1 :
F = 1 / T donc T = 1/F donc T = 0.33 micro secondes
λ = c/ f donc λ = 100 m.
La question 2.a) me pose problème et pour la question 2.b) je trouve ∆ϕ = 2πδ /λ
Pour la question 2.c) je trouve : y(D,t)=a*cos((ωt + ϕ1+ϕ2)/2) * sin((∆ϕ ))
Mais du coup je n'arrive pas à faire apparaitre D.
Pour les questions 2.d) et 2.e) je ne comprend pas trop ce qu'il faut faire.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance.
Bonsoir
Maladresse de l'énoncé : c'est H, grandeur caractérisant la position de D qui apparaît dans les formules.
Vanoise je n'est pas bien compris que voulez vous dire ? Vous parlez de la question pour calculer y ?
Ho d'accord merci ! du coup pour I1D je trouve en utilisant Pythagore :
I1D = racine( (I1I2)2 + (I2D)2 )
Est ce juste ?
Par contre pour I2D je dois donc faire apparaitre thêta ? Comment puis je faire ?
Fait plutôt appel à la trigonométrie. L'angle 
se retrouve dans les deux triangles rectangles du schéma.
Mhmm les thétas sont bien placés ?
dans ce cas I1D = H / cos(theta)
I2D = VI2 / cos(theta)
Il faut faire comme cela ?
Merci de votre aide
D'accord pour l'angle que tu as marqué en I1. Comment justifier celà ?
Pas d'accord pour l'angle en D.
Pour l'angle en D : ce que tu as écrit n'est pas faux en fait mais il est plus simple de faire intervenir l'angle I2DI1.
Pour le premier thêta on peut le justifier je penses car c l'angle incident ?
Mais du coup que vaut l'angle I2DI1 ? 2 thêta ?
Donc on doit déterminer I2D dans le triangle rectangle I2DI1 ?
J'ai trouvé :
I1D = H/sin()
I2D = I1D*cos(2*)
I1D - I2D = 2*H*sin()
Cela me semble correcte, qu'en pensez vous ?
C'est bien cela !
Pour les justifications :
En I1 : loi de Descartes sur la réflexion : le rayon incident et le rayon réfléchi sont symétriques par rapport à la normale en I1 à la surface réfléchissante.
En I2 : L'angle est le supplémentaire de l'angle
entre le rayon incident et le rayon réfléchi en I1. Or, de façon évidente : .
D'accord merci je n'avais pas compris pour le second angle mais maintenant c'est clair !
Pourriez vous m'aider pour la suite s'il vous plait ?
Pour la 2.b) je trouve donc ∆ϕ = 2πδ /λ + π = 2π(δ /λ + 1/2) = 2πp , pétant l'ordre d'interférence
Pour la question 2.c) j'ai trouvé :
y(D,t)=a*cos((ωt + ϕ1+ϕ2)/2) * sin((∆ϕ ))
Est ce correcte ?
L'angle est le supplémentaire de l'angle
entre le rayon incident et le rayon réfléchi en I1. Or, de façon évidente :
En reprenant les notations de l'énoncé, le signal reçu en D correspondant à l'onde n° 1 a pour expression :
Puisque les phase initiales sont définies modulo 2
, on peut indifféremment ajouter ou retrancher dans l'expression précédente.
Le signal reçu en D correspondant à l'onde n°2 a pour expression :
Superposition en D des deux ondes :
C'est a priori une somme de sinus qui intervient ici. Bien sûr : on peut faire disparaître le « » de 
1 et se ramener à une différence de deux sinus mais cela ne me paraît pas très logique dans la mesure où l'énoncé demande explicitement de faire intervenir le déphasage 
entre les deux ondes. Je te laisse continuer.
Dois je remplacer dans l'expression de y 2-1 = ? et pour la partie sinus est ce nécessaire que je remplace les deux par les valeurs que vous avez mis au dessus ?
Pour la question suivante : Je ne comprend pas trop la question, pour préciser l'amplitude faut il déterminer a ?
Pour l'interférence c'est IT = 2I0*(1 + cos()) ? Pour le phénomène observer je ne vois pas du tout.
Bien sûr !
Pour la suite : tu utilises la formule générale de l'intensité démontrée en cours. Il me semble plus logique de répondre aux questions posées : il y est question « d'en déduire l'expression de l'intensité ». Puisque varie au cours du temps entre 1 et -1, on peut dire que l'amplitude du signal est :
Sachant que l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude... Je te laisse terminer et vérifier que le résultat obtenu ici est cohérent avec la formule générale de ton cours.
Pour le phénomène observer je ne vois pas du tout.
La réponse est dans le titre que tu as choisi ! Reste bien sûr à justifier.
Merci de votre réponse ,
L'intensité est donc I = A2 / 2 = 2*a2(sin2((2*H*)/
)* sin())
Je ne vois pas trop comment continuer le calcul après cela.
Pour le phénomène on observe des interférences constructives ?
Le cas limite =0 correspond à l'absence de réflexion de l'onde n° 1 sur l'eau donc à l'absence d'interférence. "Le premier minimum" dont parle l'énoncé correspond à la plus petite valeur de non nulle qui correspond à une intensité nulle.
Remarque : pour ce genre d'onde électromagnétique, l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude mais la constante de proportionnalité n'est pas encore à ton programme. Il me semble donc préférable d'écrire l'intensité sous la forme :
où Io désigne l'intensité maximale.
Je dois donc déterminer tel que :
ID = 0
alors
cos(((4*H)/ ) * sin) = 0
Soit = n * avec n
Donc la réponse est = ?
Une intensité nulle correspond à un cosinus égal à 1 ou à un sinus égal à zéro. Reprend attentivement les formules des messages précédents.
Pour que l'intensité soit nulle il faut sin() = 0
donc = ?
ou faut il faire : cos(((4*H)/ ) * sin()) = 1
?
Attention au réalisme des résultats. L'énoncé précise que les mesures se font lorsque l'étoile, source de l'onde incidente, se lève à l'horizon. Les valeurs de attendues sont donc strictement positives mais relativement faibles...
Une intensité nulle correspond à :
ce qui est équivalent à :
Puisque la solution immédiate : =0 est à exclure, cela ne correspond pas du tout à : sin()=0
Le résultat attendu doit faire intervenir H et .
cos((4**H/ ) * sin()) = 1
donc (4**H/ ) * sin( )= 2*n*
donc sin( ) = (2*n* ) / (4**H/ )
donc = sin-1( n / 2*H*)
est ce correcte ?
Oui. L'énoncé demande l'application numérique pour la plus faible des valeurs possibles de soit pour n=1 puisque la fonction sinus est monotone croissante dans le domaine des valeurs de qui nous intéresse.
Petite remarque : préférer la notation "arcsinus " à l'exposant "-1".
Oui.
Peux-tu fournir les valeurs numériques de . Tu as commis une étourderie dans la dernière formule de ton message de 9h47.
9.5 * 10-3 en degré.
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