Niveau licence

Exercice de statique des fluides

Posté par
Skapgoat 26-12-16 à 16:54

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide sur un exercice sur lequel je bloque vraiment malgré de nombreuses heures passés dessus...

Voici l'énoncé :
On imagine le système suivant pour mesurer la densité d'un fluide : un tube en U de section S est bouché d'un côté par un bouchon étanche de masse M , relié à un ressort, de raideur k et de longueur L au repos, dont l'autre extrémité est fixe. La branche  de  droite  du  tube  est  graduée  à  une  hauteur h au-dessus  de  la  position d'équilibre du bouchon en l'absence de fluide. On note $\Delta l_{0}$ l'allongement initial du ressort en l'absence de fluide, sous l'influence du poids du bouchon.

1) En écrivant le bilan des forces sur la masse M lorsque le tube est vide, calculer $\Delta l_{0}$ en fonction de M et k.

On remplit ensuite le tube en U avec le fluide à caractériser jusqu'au trait de graduation, et on note $\Delta l$ la hauteur dont remonte la masse M.

2) Écrire le bilan des forces sur la masse M (il y en a 4). On notera $p_{M}$ la pression dans le fluide au point M, et $p_{atm}$ le pression atmosphérique.
3) Écrire l'expression de $p_{M}$ à partir de la loi de l'hydrostatique et, en utilisant la question 1, en déduire $\rho$ en fonction de k, S, $\Delta l$ et h.
4) On donne h=1m, D=3cm (diamètre du tube), k=0,1N/mm, $\Delta l$ =5cm. Calculer $\rho$ .

J'ai joint le schéma de l'exercice.

Pour la première question, j'ai donc trouvé que $\vec{P}=-\vec{T}$ (avec P le poids et T la tension), et que $\Delta l_{0}=\frac{M}{k}=\vec{0}$ .

Pour le seconde question, je suis moins sûr... mais en toute logique je dirai :
-  La masse M est en interaction avec la Terre. Elle est soumise à son poids $\vec{P}$ .
-  La masse M est soumise à l'action du ressort, l'action exercée par le ressort de raideur k  est appelée tension du ressort $\vec{T}$ .
- La pression exercée par le fluide au point M noté $\vec{P_{M}}$ .
- La pression égale à la pression atmosphérique qui dépend de la hauteur h noté $\vec{P_{atm}}$ .

Pour la troisième question,  là j'ai vraiment du mal:
La pression exercée par un liquide vaut :   $P=\rho \times g\times h$

La pression atmosphérique lorsque le tube est vide, et donc lorsque la raideur k est de longueur $\Delta l_{0}$ vaut : $P_{atm}=\Delta l_{0}-\Delta l=P_{0}$

A partir de la loi fondamentale de l'hydrostatique, on peut écrire l'expression de $p_{M}$ de la façon suivante :
$p_{M}=P_{atm}+\rho \times g\times h$

A partir de cette expression on peut donc en déduire $\rho$ :
$\rho =\frac{p_{M}-p_{atm}}{g\times h}$
Mais là pour l'écrire en fonction k, S, $\Delta l$ et h je suis perdu...
J'imagine qu'il y a une calcul avec le volume déplacé ( $Masse_{initiale}-k\times \left(\Delta l_{0}-\Delta l \right)$

Et du coup pour la quatrième, je suis bloqué forcément...

Vous pouvez m'aider?

Merci beaucoup !