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Exercice de physique - évolution des molécules

Posté par
rororo 30-11-16 à 13:58

Bonjour à tous,

J'ai repris mes étude. Je me permets de vous écrire aujourd'hui, car j'éprouve quelques difficultés sur l'exercice suivant :

Il existe parfois un phénomène attribuant à l'œil une image rémanente durant 1/25 de seconde sur la rétine. En réalité, les cellules de la rétine sont constituées de molécules dites photosensibles.  Lorsqu'elles reçoivent de la lumière, elles deviennent excitées. La sensation ressentie est naturellement due aux B molécules dites excitées.

Le raisonnement est en deux étapes :
1. Une photon de lumière atteint la cellule,  on a une molécule de suite excitée.
2. Une molécule excitée revient à son état initial au bout d'un temps de 55 ms.

A.   Soit une cellule, non exposée à la lumière en t=0. Soit N0 les molécules excitées au temps t =0.

dN/dT = - N/ki

1) Résoudre l'équation différentielle.

J'ai réussi cette question.

2) Donner la loi d'évolution et donner la courbe N(t)

C'est bon également.

B. Désormais on a un éclairement qui est permanent.  Soit notre surface de cellule, S= 30 um^2, elle reçoit 7. 10^15 photos/m^2/s.

On a dN/dT + AN = B

4. Quel est l'ordre de cette équation différentielle et les dimensions de A et de B ?

Pour moi c'est une équation différentielle d'ordre 1 à second terme, et A et B sont des constantes donc ils ont une dimension de 1.

5) En vous servant des éléments précédents, dites ce que vaut AN et B et exprimer les en fonction de E, S, et khi.

Je n'arrive pas à résoudre cette question, or elle est importante pour les suivantes.

En effet, après on me dit que l'équation différentielle (2) à une solution constante N(t)=Neq. Que vaut dN/dt ?
JE pense personnellement qu'elle vaut la solution à l'exercice 1 de l'équation différentielle, plus cette solution constante.

Merci infiniment à vous

Posté par re : Exercice de physique - évolution des molécules 30-11-16 à 18:22

Bonsoir

$\frac{dN}{dt}+A.N=B$
4° $\frac{dN}{dt}$ , A.N et B doivent avoir la même dimension physique. $\frac{dN}{dt}$   étant homogène à l'inverse d'un temps puisque N est un simple nombre, il doit en être de même de B et de A.N .
A et B sont donc deux constantes homogène à l'inverse d'un temps. A et B se mesurent en $s^{-1}$ .

5° $\frac{dN}{dt}$   représente la vitesse d'évolution de N ; cette vitesse est une somme algébrique de deux termes :
* un terme positif représentant le nombre de molécules par unité de temps qui s'excitent : le nombre de photons reçus par unité de temps : $B=30.10^{-12}\cdot7.10^{15}=2,1.10^{5}s^{-1}$
* un terme négatif correspondant au nombre de molécules qui se dé-excitent  par unités de temps. Ce terme, d'après la partie A) est égal à $-\frac{N}{ki}$ .
D'où l'équation différentielle :

$\frac{dN}{dt}=-\frac{N}{ki}+B$
On retrouve bien l'expression générale proposée en posant : $A=\frac{1}{ki}$ .

Posté par re : Exercice de physique - évolution des molécules 30-11-16 à 22:53

Merci pour votre réponse infiniment. J'ai pu avancer de façon satisfaisante.

On nous dit que pour dN/dt + AN=B on a une solution telle que N(t)=Néquilibre

J'ai trouvé Nequilibre en fonction de A et B.

Simplement, je butte sur deux questions :

1) L'éclairement est permanent. A t=0, N(t=0)=0. Déterminez N(t).

Pour cette question, je pensais dire que d'après nos résultats précédents dN/dt + AN=ANéquilibre. ET donc N(t)= (N0-Néquilibre)e-t/ki + Nequlibre.

Mais je suis pas sur.

2) Comment se comporte N(t) aux temps longs et aux temps courts ?

Pour cette question je butte réellement.

Merci infiniment

Posté par re : Exercice de physique - évolution des molécules 30-11-16 à 23:39

L'équilibre correspond à une dérivée par rapport au temps nulle :

$N_{e}=\frac{B}{A}=B\cdot ki$
On démontre en math que la solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution particulière précédente et de la solution de l'équation différentielle avec second membre nul :

$\frac{dN}{dt}+A.N=0$
La solution a été étudiée partie A) : $N_{h}=K.e^{-A.t}=K.e^{-\frac{t}{ki}}$ où K est une constante. La solution générale a pour expression :

$N(t)=N_{e}+N_{h}=K.e^{-\frac{t}{ki}}+B.ki$ .
On détermine K à partir des conditions initiales :

$N(0)=0=K+B.ki$
Donc :

$N(t)=B.ki.\left(1-e^{-\frac{t}{ki}}\right)$
C'est effectivement ce que tu obtiens.

Pour $\frac{t}{ki}\ll1$ , l'exponentielle est proche de 1. Pour être plus précis, il est possible d'effectuer un développement de Taylor limité à l'ordre 1 en $\frac{t}{ki}$ :

$e^{-\frac{t}{ki}}\approx1-\frac{t}{ki}$

$N(t)\approx B.t$
Le nombre de molécules excitées augmente proportionnellement au temps.

Pour $\frac{t}{ki}\gg1$ , l'exponentielle est proche de 0. L'équilibre est quasiment atteint :

$N(t)\approx B.ki=N_{e}$

Je te laisse réfléchir au sens physique de ces résultats...