Bonjour aux utilisateurs de ce forum,

Je présente le problème ci-dessous. Ce problème est de niveau Licence.

Une plateforme horizontale est supportée par 3 piliers verticaux en 3 points A,B et C situées aux sommets d'un triangle équilatéral.
Sur cette plateforme sont appliquées 2 charges verticales P et P' dont les points d'application S et S' sont situés sur une même droite passant par le centre de gravité du triangle ABC, et faisant un angle « téta » avec la direction OA orientée positivement de O vers A, S et S' étant situés de part et d'autre du point O à des distances respectives b et b' de ce point. On fera par ailleurs OA = OB=OC=a

1°) Calculer en fonction de ces données les réactions des pilliers en A,B et C, dues à l'ensemble de ces forces.

2°) b et b' étant constants, on fait varier l'angle « téta » de 0 à 2pi, étudier la variation de la réaction du pilier A en fonctionde « téta » et determiner les valeur de « téta » correspondant, au minimum et au maximum de la réaction en A, ainsi que le svaleurs de cette réaction.


Ayant déjà réfléchi à la 1ère question, je vous présente mes travaux :

Je retiens pour axes-coordonnées les axes orientés orthogonaux x'x et y'y passant respectivement par O et B et C dans le plan de la plateforme et l'axe z'z perpendiculaire en 0' à ce plan.

Les réactions d'appui sont au nombre de 3 et perpendiculaires au plan xOy en A, B et C.

Les équations d'équilibre dans l'espace sont au nombre de 6, mais on remarque que les équations de projection sur les axes Ox et Oy donnent O=O du fait de la direction des réactions ; elles sont donc à éliminer.

De plus, les réaction étant parallèles à l'axe Oz, leurs moments pa rapport à cet axe sont nuls. Cette équation est donc aussi à éliminer.

Il reste 3 équations pour déterminer les 3 réaction : Le système devient du coup isostatique.

Equation de projection sur l'axe z'z :
Soit les réactions YA, YB et YC (sens positif debas en haut)
On a : YA + YB + YC - P - P' = 0     (1)      (P et P' pris en valeur absolue)

Equation des moments par rapport à l'axe x'x :
(Le moment de YA est nul)

-YB.(a.racine carré(3))/2 + YC.(a.racine carré(3))/2 +  P.b.sin(téta) - P'.b'.sin(téta) = 0    (2)

Equation des moments par rapport à l'axe yy:
(Les moments de YB et YC sont nuls)

YA.3a/2 - P.(b.cos(téta)+a/2) + P'.(b'.cos(téta)+a/2) = 0      (3)

Donc YA = (P+P')/3 + (2.cos(téta)/3a).(P.b-P'.b')


Portant cette valeur de YA dans (1), je tire de cette équation et de l'équation (2) :

YB = (P+P')/3 + ((P.b)/3a).(racine carré(3).sin(téta)) + ((P'b')/3a).(cos(téta)-racine carré(3).sin(téta))

YC = (P+P')/3 + ((P'.b'-P.b)/3a).(cos(téta)+racine carré(3).sin(téta))


Qu'en pensez vous ?

Je n'ai pas de pistes pour débuter la seconde question de ce problème. Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Cordialement