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Exercice de dynamique (équation différentielle)
Bonjour tout le monde
J'étais en train de faire cet exercice et j'ai trouvé des difficultés à débuter.
Une particule de masse m est jetée verticalement vers le haut avec une vitesse V0.
Si la la résistance de l'air est proportionnelle au carré de la vitesse instantanée et si la constante de proportionnalité est K trouver :
1)le temps nécessaire pour atteindre la hauteur maximal hmax.
2)la hauteur maximal hmax .
3)la vitesse Vs de la particule lorsqu'elle revient au sol.
pour la 1er question
les forces exercés sont le poids P et les forces de frottements F
en appliquant le PFD on a
P+F=ma
par projection dur l'axe verticale (dirigé vers le haut) on a
-mg-KV2=m dV/dt
dv/dt=-K/m V2-g
je ne sais pas comment résoudre cette équation différentielle . ( on ma dit qu'on peut la résoudre avec la dérivé de arc-tangente (arctan x)'=x'/(1+x2) mais j'y arrive pas )
Merci d'avance.
dv/dt=-K/m V2-g
V².dv= (-(K+mg)/m).dt
V².dv = (-(K+mg)/m).dt
Et ca tu dois savoir integrer. Pour les bornes, il faut avoir t=0 a t et v0 a v.
Bon courage
dv/dt=-K/m V2-g
1/V² .dv= (-(K+mg)/m).dt
la c'est quand on na dv/dt=-K/m V2-gV2 ( on met v2 en facteur dv/dt=-(k/m + g)V2 en divise par V2 et on multiplie par dt et on na 1/V² .dv= (-(K+mg)/m).dt)
mais dans notre ca ce n'est pas possible ( on na pas dv/dt=-K/m V2-gV2 on na dv/dt=-K/m V2-g )
bonsoir,
On peut résoudre cette équation par la méthode de séparation des variables t et v :
dv/dt = -g - K/m v²
=>
- dv/(g+K/m v^2) = dt
- dv /g(1+ K/gm v^2) = dt
changement de variable x = racine( K/gm) v
dx = racine * dv
au facteur constant près devant, tu te retrouves avec l'expression familière de la différentielle de arctan x.
dx/(1+x^2)
et çà tombe bien car tu dois ensuite intégrer..
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