Niveau maths spé

Exercice d'électromécanique

Posté par
altedor 18-06-12 à 12:10

Bonjour,

Je prépare actuellement les oraux de concours et je bute sur l'exercice suivant:

Soit un cerceau infiniment conducteur, OA et OA' sont deux barres identiques de résistance R dont les extrémités peuvent se déplacer sans frottement sur le cerceau. Le champ magnétique $\overrightarrow{B}$ est uniforme, stationnaire et dirigé selon $\vec{e}_z$ . En O, le pivot est parfait. La barre OA est initialement en rotation à la vitesse $[\omega_0$ . Etudier le mouvement et bilan énergétique.

Qualitativement, le mouvement de la barre 1 induire un courant qui circulera dans le circuit, les deux barres vont être soumises aux actions de Laplace, - des couples de Laplace, car on s'intéresse à la rotation- et la deuxième barre va se mettre en mouvement, ainsi il y aura également une force électromotrice et un courant induit par son mouvement dans le champ magnétique stationnaire.

Ce qui me pose cependant problème c'est la mise en équation électrique, je n'arrive pas à bien dessiner le schéma électrique équivalent, en effet, le cerceau étant infiniment conducteur, il se comporte comme un fil sans résistance, donc j'aurai envie de dire que malgré les apparences les deux résistances(des deux barres) sont montées en série, mais cela me parait étrange...

Autre question, le cerceau lui aussi va se mettre en rotation non ?

Merci d'avance,

Altedor

$Exercice d\'électromécanique$

Posté par re : Exercice d'électromécanique 23-06-12 à 21:32

Bonsoir,

avant tout, il faut bien paramétrer le système. Dans un soucis de simplification, j'ai appelé R/2 les résistances des deux barres.

On va quand même supposer le cerceau fixe sinon ça va être compliqué (déjà que là c'est assez embêtant ...). On est d'ailleurs dans le cas de Lorentz, à savoir deux conducteurs mobiles dans un champ magnétique permanent.

$Exercice d\'électromécanique$

$\vec{B}$ est uniforme et permanent. En négligeant le champ magnétique propre $\vec{B}_\text{propre}$ on a le champ électromoteur : $\vec{E}_m=\vec{v}\wedge\vec{B}$ .

On déduit :

sur OA : $\vec{E}_m=r\dot{\theta}\vec{u_\theta}\wedge B\vec{u_z}=r\dot{\theta}B\vec{u_r}$
sur OA' : $\vec{E}_m=r\dot{\varphi}B\vec{u_r}$

Ainsi si on appelle $e$ et $e'$ les forces électromotrices en regard (voir schéma électrique équivalent) :

$e=\int_O^Ar\dot{\theta}B\ \text{d}r=\frac{a^2}{2}B\dot{\theta}$
$e'=\int_{A'}^Or\dot{\varphi}B\ \text{d}r=-\frac{a^2}{2}B\dot{\varphi}$

D'après le schéma électrique :

$e+e'=(R/2+R/2)i=Ri$

Donc l'équation électrique est :

$\Large\boxed{\frac{a^2}{2}(\dot{\theta}-\dot{\varphi})B=Ri}$

Bon voilà ... je suis d'accord avec ton raisonnement qualitatif, avec en plus que le cerceau est fixe.

Au final j'obtiens :

$\Large\begin{bmatrix} \\ \ddot{\theta}\\ \\ \ddot{\varphi}\end{bmatrix}=-\frac{a^4B}{4JR}\begin{bmatrix} \\ 1&-1\\ \\ -1&1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{\theta}\\ \\ \dot{\varphi}\end{bmatrix}$

où J est le moment d'inertie d'une barre en O.

Il reste à diagonaliser la matrice (pas trop dur) pour découpler les équations et le tour est joué.