Niveau licence

Exercice d'électromagnétisme

Posté par
selene95 17-06-10 à 11:50

Bonjour tout le monde ! Voilà je bute sur cet exercice depuis 2 jours, et je ne vois pas du tout comment commencer :

Soit une sphère pleine de rayon R de centre O portant une charge volumique (r) = 2a/r où r est la distance au centre de la sphère et a une constante.

a) Déterminer la charge totale dans la sphère

b) Calculer le champs électrique en tout point de l'espace

c) Calculer l'énergie potentielle électrostatique de cette sphère chargée lorsqu'elle est seule dans l'espace. On prendra l'origine des énergies potentielles lorsque les charges sont à l'infini (énergie potentielle nulle lorsque les charges sont à l'infini).

d) La sphère est maintenant entourée d'une couche conductrice sphérique, centrée en O, dee rayon intérieur R₁ et de rayon extérieur R₂ : R < R₁ < R₂. Cette couche conductrice est relié à la terre par un fil conducteur.
Déterminer les charges sur toutes les surfaces, le champs électrique en tout point de l'espace et le potentiel en tout point de l'espace

Posté par re : Exercice d'électromagnétisme 17-06-10 à 16:05

Bonjour,
Pour le a), je pense qu'il faut définir un petit élément de charge $dq$ , et intégrer sur tout le volume de la sphère. Soit $dq = \rho(r) dV$ , où $dV$ représente un petit élément de volume de la sphère.
Pour trouver la valeur de la charge totale $Q_T$ dans la sphère, il faut calculer :
$Q_T = \int \int \int_{Volume sphere} \rho(r) dV$

Plaçons nous en coordonnées sphérique. Un élément de volume $dV$ s'exprime comme : $dV = dr \times r d\theta \times r \sin \theta d\phi = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$

On a donc :
$Q_T = \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^2\sin\theta \rho(r) dr d\theta d\phi$
Or $\rho(r) = \frac{2a}{r}$ , d'où :
$Q_T = 2a \int_0^R r dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$
$Q_T = 2a \times \[\frac{r^2}{2}\]_0^R \times \[-cos\theta \]_0^\pi \times \[\phi\]_0^{2\pi}$
$Q_T = 2a \times \frac{R^2}{2} \times 2 \times 2\pi$
$Q_T = 4\pi a R^2$
Au passage, d'après (r) = 2a/r, on voit que a est homogène à des C.m^-2, donc aR² est bien homogène à une charge. Ca ne signifie pas que le résultat est correcte, mais que, à priori, on n'a pas écrit une énorme bêtise...
Pour le b), je pense qu'il faut utiliser le théorème de Gauss...
Pour le c), tu as une relation entre le champ $\vec{W}$ et le potentiel V
Pour le d), je cherche encore

Bon courage,