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Exercice : circuit LC

Posté par
Capucine 04-02-16 à 18:43

Bonsoir.
Auriez-vous la gentillesse de me donner quelques pistes pour avancer sur cet énoncé.
Je vous en remercie  par avance.

A partir du circuit, on demande les relations différentielles entre I_L  ,  I_c  et   u(t) .
Je trouve  I_c = -C\frac{du}{dt}   puis  u= -L\frac{dI_L}{dt}

a) On demande de déduire la relation différentielle entre u et i  que je ne parviens pas à trouver.

b ) Puis en supposant que la tension varie de façon sinusoïdale,  \underline{U} = U_0e^{jwt} ,

on demande la relation entre  I_0  et  U_0  ,  puis de déduire l'impédance du circuit.

Exercice : circuit LC

***Image recadrée***

Posté par
J-Pre : circuit LC 04-02-16 à 19:22

a)

iC = - C du/dt
u = -L diL/dt

i = iC + iL
di/dt = diC/dt + diL/dt

di/dt = - C d²u/dt² - u/L

A comprendre ... avant de s'attaquer aux 2 dernières questions.

Sauf distraction.  

Posté par
vanoisere : circuit LC 04-02-16 à 19:49

Bonsoir,
plusieurs méthodes sont possibles pour arriver à l'expression de l'impédance complexe. Celle qui me semble au plus près de ton énoncé est la suivante, sachant que le symbole désigne une primitive :

i_{C}(t)=C\frac{du(t)}{dt}\quad;\quad u(t)=L\frac{di_{L}}{dt}\quad donc\quad i_{L}(t)=\frac{1}{L}\intop u(t).dt \\ \\ \text{loi des noeuds :\ensuremath{i(t)=i_{C}(t)+i_{L}(t)=C\frac{du(t)}{dt}+\frac{1}{L}\intop u(t).dt}} \\ \\ \text{en multipliant tous les termes par L et en dérivant par rapport à t pour faire disparaitre la primitive :} \\ \\ \boxed{u(t)+LC\frac{d^{2}u(t)}{dt^{2}}=\frac{L.di(t)}{dt}}
Sachant que dérivée n fois une grandeur instantanée fonction sinusoïdale du temps  est équivalent à multiplier par (j)n le complexe associé à cette grandeur sinusoïdale, l'équation différentielle précédente conduit à :

\underline{u}\left(1+LC\left(j\omega\right)^{2}\right)=jL\omega\underline{i} \\ \\ \text{d'où l'expression de l'impédance complexe : \ensuremath{\underline{Z}=\frac{\underline{u}}{\underline{i}}=\frac{jL\omega}{1-LC\omega^{2}}}} \\
Bien sûr, on obtient le même résultat en appliquant la "formule" de l'impédance équivalente à deux dipôles associés en parallèle :

\underline{Z}=\frac{\underline{Z_{L}}\cdot\underline{Z_{C}}}{\underline{Z_{L}}+\underline{Z_{C}}}=\frac{jL\omega\cdot\frac{1}{jC\omega}}{jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}=\frac{\frac{L}{C}}{j\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)} \\ \\ \text{soit en multipliant tous les termes par \ensuremath{jC\omega\::\:\boxed{\underline{Z}=\frac{jL\omega}{1-LC\omega^{2}}}}} \\

Posté par
Capucinere : circuit LC 04-02-16 à 19:58

Merci J-P pour votre aide.

Si je suis bien, on a     \frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}(-C\frac{du}{dt}-L\frac{I_l}{dt})

Je comprends pour  \frac{d}{dt}(-C\frac{du}{dt})=-C\frac{d^2u}{dt^2}.

Ensuite, vous remplacez sans doute  -L\frac{I_l}{dt}  par u.

Ne faut-il pas alors dériver pour finalement obtenir  \frac{d}{dt}(-L\frac{I_l}{dt}) =\frac{du}{dt} .

L'ED serait pour finir  \frac{di}{dt} = -C\frac{d^2u}{dt^2} -\frac{du}{dt}     ?

Posté par
vanoisere : circuit LC 04-02-16 à 20:01

J'ai  regardé ton schéma un peu vite : il est orienté en convention générateur, ce qui est très inhabituel pour dipôle ne contenant pas de générateur.
Bref : la solution que je t'ai proposée utilise la convention récepteur :  les trois flèches des intensités orientées vers la droite et la flèche correspondant à u orientée en sens inverse.

Citation :
Je trouve I_c = -C\frac{du}{dt}   puis  u= -L\frac{dI_L}{dt}

Bizarre : cette réponse suppose un dipôle orienté en convention récepteur et l'autre en convention générateur...
Franchement, en absence de générateur, tu as intérêt à orienter tous les dipôles en convention récepteur.

Posté par
Capucinere : circuit LC 04-02-16 à 20:03

Bonsoir Vanoise, et merci beaucoup pour cette explication substantielle.
Je me plonge dans la résolution et vous tient au courant de mes progrès;
Bonne soirée.

Posté par
vanoisere : circuit LC 04-02-16 à 22:34

Pour être tout à fait clair : voici les conventions (dites "récepteur") que j'ai utilisées pour ma démonstration. Fais très attention dans mon message de 19h49 aux signes de u par rapport à diL/dt et de du/dt par rapport à iC.
Comme tu l'as fait et comme cela a été repris par J.P., on peut envisager de mettre deux signes "-" mais dans ce cas, les deux dipôles sont orientées en conventions "générateurs" et cela conduit à une expression de l'impédance opposée à celle que je fournie.
Remarque : ne tiens pas compte de mon avant-dernière ligne de mon message de 20h01 : elle est fausse. En revanche, la dernière reste d'actualité !

circuit LC

Posté par
Capucinere : circuit LC 05-02-16 à 14:38

Bonjour à tous.

Je poursuis cet exercice. Je me suis conformée à l'énoncé, ai bien abouti à une impédance négative en exploitant la relation différentielle.

Par la suite, on demande directement les définitions des impédances d'un condensateur (\underline{Z_c}=\frac{1}{jCw})  et d'une bobine  (\underline{Z_l}=jwL) pour retrouver le même résultat.

D'après la notation complexe,  \underline{Z}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}=\frac{\underline{U_0}e^{jwt}}{\underline{I_0}e^{jwt}}=\frac{U_0}{I_0}e^{j\phi}}  avec   \phi=\phi_U-\phi_I.

Pour obtenir un signe négatif, il est nécessaire d'introduire deux impédances ( ou admittances) de signes opposés, soit une différence de phase entre U et I égale à  \phi=-\frac{\pi}{2}.

Laquelle est donc négative?  Je bloque car la tension (commune en parallèle), est en retard de  \frac{\pi}{2}  sur le courant aux bornes du condensateur, mais en avance de  \frac{\pi}{2}  aux bornes de la bobine. La solution dans mon calcul est que c'est   (\underline{Z_c})  qui doit être négative, donc déphasée de   -\frac{\pi}{2}.

Suis-je claire, et est-ce exact?

Merci de tout ce temps et de vos explications.

Posté par
vanoisere : circuit LC 05-02-16 à 15:24

Bonjour,
Je suis de plus en plus persuadé qu'il y a une erreur sur ton schéma concernant l'orientation des dipôles : erreur de reproduction de ta part ou erreur de la part du concepteur de l'exercice . En effet, en persistant dans l'utilisation de la convention générateur, on aboutit à :

\underline{Z_{L}}=-jL\omega\quad;\quad\underline{Z_{C}}=-\frac{1}{jC\omega}
Pour faire bonne mesure, s'il fallait tenir compte de la résistance interne de la bobine d'inductance L, il faudrait poser : ZR = -R.
Personnellement, je n'ai jamais trouvé de professeur suffisamment masochiste et sadique pour imposer de façon aussi inutile à ses étudiants toute cette ribambelle de signes (-)... Je n'ai jamais trouvé non plus d'ouvrage de physique faisant ainsi...
Sinon, tu peux écrire :

\phi=\arg\left(\underline{Z}\right)=\arg\left(\text{numérateur de \ensuremath{\underline{Z}}}\right)-\arg\left(\text{dénominateur de \ensuremath{\underline{Z}}}\right)=\arg\left(\text{numérateur de \ensuremath{\underline{Z}}}\right)+\arg\left(\text{conjugué du dénominateur de \ensuremath{\underline{Z}}}\right)

Posté par
vanoisere : circuit LC 05-02-16 à 15:42

Partant de l'expression de l'impédance que j'ai obtenue (change le signe si tu y tiens) :

\underline{Z}=\frac{jL\omega}{1-LC\omega^{2}} \\ \\ \arg\left(jL\omega\right)=\frac{\pi}{2} \\ \\ \begin{cases} \\ si\;LC\omega^{2}<1 & \arg\left(1-LC\omega^{2}\right)=0\;donc\quad\phi=\arg\left(\underline{Z}\right)=\frac{\pi}{2}\\ \\ si\;LC\omega^{2}>1 & \arg\left(1-LC\omega^{2}\right)=\pi\;donc\quad\phi=\arg\left(\underline{Z}\right)=-\frac{\pi}{2} \\ \end{cases} \\
Calculs faits modulo 2 évidemment.
Reste le cas particulier : LC2=1 ; alors l'impédance tend vers l'infini : l'intensité i est nulle à chaque instant : le circuit se comporte en "circuit bouchon".
Évidemment cette situation est un peu théorique car la résistance d'une bobine n'est jamais tout à fait nulle...

Posté par
J-Pre : circuit LC 05-02-16 à 20:21

Il est impératif de savoir manipuler les 2 conventions (récepteur ou générateur) et ceci même pour des composants passifs.

Il suffit de penser à un montage très simple pour s'en rendre compte.

Que reprocher aux sens des tensions et courant choisis dans ceci :

circuit LC

Les choix sont "classiques" ... et pourtant un des condensateurs est en convention générateur et l'autre en récepteur.

Et ce n'est qu'un  schéma sans aucune complexité,  dans des schémas un poil sophistiqués, comportant plusieurs générateurs et plusieurs composants dit passifs (comme des C et des L), il est parfois  bien difficile de choisir des sens des tensions et courants "intelligents".
On est parfois amené à mettre ces sens un peu n'importe comment ... et bien entendu, une fois cela fait, on DOIT en tenir compte dans les équations de mailles et noeuds... et tant pis si certains composants "passifs" se retrouvent en convention générateur.


Posté par
vanoisere : circuit LC 05-02-16 à 20:45

D'accord avec JP sur le principe mais entre savoir utiliser les deux conventions et choisir délibérément la plus compliquée...

Posté par
J-Pre : circuit LC 06-02-16 à 09:41

Peut être, dans le cas présent, pour obliger à manipuler la convention générateur dans un cas simple ... avant de passer à des schémas plus complexes ?

No se.

Il n'y a pas de difficulté à trouver une impédance avec la convention générateur ...

On a u = Z.i en convention récepteur
et
u = -Z.i en convention générateur

Mais il reste possible que le schéma de la question initiale ait été mal repéré pour le sens du courant ou de la tension.
Seule Capucine peut le savoir.

Posté par
vanoisere : circuit LC 06-02-16 à 11:53

Bonjour,
En tout cas, ce choix d'orientation, délibéré ou non, aura eu un effet très positif : permettre à capucine et à d'autres étudiants éventuels lisant ces messages, de réfléchir de façon approfondie aux deux conventions possibles d'orientation !

Posté par
Capucinere : circuit LC 06-02-16 à 14:52

Bonjour Vanoise et J-P.

Quelle belle conclusion. J'ajouterais qu'il nous a été profitable de surcroît de bénéficier de vos propres ressentis par rapport au sujet. Voir ainsi que les interrogations que l'on se pose sont propres à la matière, et que l'on peut faire confiance au raisonnement, même dans une situation peu "orthodoxe".
Merci pour votre débat, et la clarté de vos explications.
Je confirme pour finir que le schéma est bien exact, et que cette troublante orientation est bien conforme. Dérangeante, mais bien propice au progrès.
Je vous souhaite un excellent wee-end.


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