Bonjour, j'ai un exercice de physique sur l'optique géométrique mais je ne m'en sors pas du tout en fait. J'ai cherché des pistes de raisonnement mais je n'aboutis à rien. Quelqu'un pourrait m'aider ? C'est sur le phénomène de l'arc en ciel.

"L'objectif de ce problème est d'expliquer le phénomène d'arc en ciel qui a lieu dans des conditions grossièrement décrites par la figure 1 ci-dessous.

(figure 1)

1. Dans quelle direction regarde l'observateur pour apercevoir l'arc-en-ciel ?

2. Dans un premier temps, on s'interesse au parcours des rayons du soleil dans une goutte d'eau modélisée par une sphère de centre O et de rayon R, qu'on supposera immobile dans l'air. Cette goutte est éclairée par un faisceau de lumière parallèle dont un rayon x'A atteint la sphère en A où il se réfracte. On pose (OA,Ax')=i et (AO,AB)=r, les angles d'incidence et de réfraction (figure 2). Soit B le point où le rayon réfracté rencontre la sphère. En B la lumière peut être soit réfractée soit réfléchie, mais on ne considère ici que le rayon réfléchi. Le rayon réfléchi en B rencontre de nouveau la sphère en C où il se réfracte selon Cy. On note α=(OX',Cy)

On note n l'indice de réfraction de la goutte d'eau et on prendra l'indice de l'air égal à 1.
Dans un premier temps, on suppose que la lumière incidente est monochromatique de longueur d'onde λ.

Etablir une approximation portant sur R et λ à partir de laquelle on peut négliger le phénomène de diffraction et ainsi assimiler la lumière traversant la goutte à des rayons lumineux (hypothèse de l'optique géométrique). Cette approximation vous semble-t-elle valable dans le cas présent ?

3.Etude quantitative avec n constant
Le modèle étant supposé pertinent, , on se propose maintenant de quantifier le phénomène d'arc-en-ciel.On commence par supposer n constant et on cherche à analyser les conséquences des variations de l'angle d'incidence i.
3.1 Peut-il y avoir réfléxion totale en B ?

3.2 Montrer que α=4r-2i

3.3 Etablir l'expression de la dérivée dα/di (dérivée de α par rapport à i) en fonction de dr/di

3.4 En déduire la valeur numérique de dr/di pour laquelle α est extremum. On notera cette valeur (dr/di)indiceE

Dans la suite du problème, on admettra que l'intensité lumineuse réflécjie par la goutte est maximale lorsque α passe par son extremum.

3.5 A partir des lois de Descartes, montere que dr/di=cosi/ncosr

3.6 Etablir l'expression de cosiE en fonction de n uniquement ; iE est la valeur de i pour laquelle α est extremum

3.7 Etablir l'expression de cosrE en fonction de n uniquement ; rE est la valeur de r pour laquelle α est extremum

3.8 En déduire l'expression de l'extremum de α noté αE en fonction de n

4. Rôle de la dispersion
En fait, l'indice de réfraction n de l'eau dépend de la longueur d'onde de la lumière incidente (phénomène de dispersion). Dans le rouge, n(rouge)=1.331 et dans le violet n(violet)=1.337

4.1 Indiquer la position des longueurs d'onde du rouge et du violet dans le spectre visible.

4.2 DOnner un autre exemple de milieu dispersif.

4.3 La partie exterieure d'un arc-en-ciel est-elle rouge ou violette ? On ne demande pas de calcul numérique pour  cette question

4.4 Calculer les valeurs numériques de αE lorsque n=n(rouge) et n=n(violet). Cela est-il cohérent avec la question 4.3

4.5 En raisonnant sur les symétries du problème, expliquer la forme en arc de cercle d'un arc-en-ciel. Faire un schéma s'inspirant de la figure 1 décrivanty le phénomène d'arc-en-ciel.
Dans certaines conditions, l'observateur peut discerner 2 arc-en-ciel l'un au dessus de l'autre.

4.6 Expliquer ce phénomène