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Etude numérique d'une chute, méthode d'Euler
Bonjour,
Mon exercice parle de la chute d'une bille de plomb de masse 50g, qui chute de la tour eiffel, avec des forces de frottements (f=kv²) et pas de poussée d'archimède.
Dans la 1ère question, il faut démontrer que dv/dt + 1/a * v² - a0 = 0.
On sait que 1/a est égale à k/m avec k=5*10^-3 (forces de frottement f=kv²) et m=50g.
Il ne parle pas de poussée d'archimède, donc j'ai déduit que v0=0 m/s et a0 = g = 9,81
Or ils demandent de remplir un tableau en utilisant la méthode d'Euler, avec, pour t=0, t=1, t=2,... jusqu'à t=7 (en secondes) la vitesse en m/s et l'accélération dv/dt.
Normalement, il ne devrait pas y avoir de problème puisqu'on connait les 2 valeurs initiales et l'intervalle de temps 1 seconde.
Mais dans l'équation différencielle, la vitesse est au carré. Et quand je calcule avec la méthode d'Euler et que je met v au carré, je trouve des valeurs très bizarre, par exemple une vitesse qui diminue, une accélération négative, etc.
Et dès que je refais tous ces calculs sans la vitesse au carré, tout va très bien (vitesse croissante jusqu'à une vitesse limite, et accélération qui diminue jusqu'à 0).
Est-ce que vous savez pourquoi ?
Merci beaucoup d'avance pour votre aide !
dv/dt + 1/a * v² - a0 = 0
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Avec l'axe des vitesses vertical et dirigé vers le bas:
Poids : P = mg
frottement: f = -kv² (si k > 0)
Résultante des forces sur la bille : F = mg - kv²
mg - kv² = m.dv/dt
dv/dt = g - (k/m).v²
dv/dt + (k/m).v² - g = 0
et v(0) = 0 comme condition initiale.
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dv/dt + (5.10^-3 / 50.10^-3).v² - 9,81 = 0
dv/dt + 0,1v² - 9,81 = 0
La valeur 0,1 dans l'équation ci dessus me paraît suspecte, elle implique une vitesse de chute toujours inférieure à 9,9 m/s soit moins de 36 km/h
Es-tu sûr de tes données ? Ce n'est pas plutôt k/m = 5.10^-3 (en unités SI) au lieu de k = 5.10^-3 ?
C'est bon a savoir avant d'attaquer les calculs avec la méthode d'Euler.
Bonjour,
Formellement, on est amené à étudier la suite définie par:
et
soit et
cette suite converge vers mais elle converge en oscillant autour de cette valeur. (ce qui explique que la vitesse augmente et diminue alternativement).
Apparemment, la méthode d' Euler n' est pas adaptée avec un pas de 1 seconde.
Je te suggère de reprendre les calculs avec un pas de 0.1 seconde. Ca marche beaucoup mieux.
Tout ça est à confirmer...
L'os est évident.
Il y a très probablement une erreur d'énoncé (valeur de k ou de m).
A cause de cette erreur on obtient l'équation dv/dt + 0,1v² - 9,81 = 0
Pour que la méthode d'Euler donne des résultats approchant la réalité ,il FAUT que les intervalles de temps soient suffisamment petits pour que les variations de vitesse dans un intervalle de temps soit très petit devant la variation max de la vitesse.
On calcule facilement que Vitesse max est de 9,9 m/s, or avec une accélération au départ (vitesse nulle) = 9,81 m/s², en un delta t de 1 s on trouve une variation de vitesse par Euler de 9,81 m/s, soit pratiquement la valeur max de la vitesse qui découle de l'équation différentielle.
Donc, si l'équation différentielle est correcte (pas d'erreur d'énoncé sur la valeur de k), on ne peut utiliser la méthode d'Euler qu'avec des Delta t très petit devant 1 s. (0,1 s pourrait déjà être acceptables)
Il y a donc bien quelque chose d'incohérent dans l'énoncé.
- Si la valeur de k est correcte, la méthode d'Euler avec des delta t = 1 s est innapropriée.
- Si les delta t = 1 s pour les pas dans la méthode d'Euler sont acceptables, alors la valeur de k (ou de m) de l'énoncé est fausse.
D'où ma remarque dans mon intervention précédente.
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Bonjour,
Dans l'énoncé, ils disent "Dans cet exercice, on ne cherche une précision très élevée, ce qui justifie le choix de l'intervalle de temps de 1 seconde".
Et pour la valeur 0.1, en fait c'est écrit "f=kv² où k=5*10^-3 S.I." et dans l'équation à démontrer, on a 1/a, où ils demandent de déterminer la valeur de a. Et c'est moi qui est dit que a=k/m=(5*10^-3)/(50*10^-3)=0.1 car dans ma démonstration, je pars de mg-kv²=ma (d'après la 2è loi de Newton) et j'arrive à (dv/dt)+(k/m)*v²-g=0 et c'est là que j'en ai déduit que k/m=1/a et g=a0.
Merci!
Soit, alors on trouve:
La petite oscillation qu'on aperçoit n'est qu'une conséquence du trop grand pas choisit pour delta t
mais du coup c'est pas grave si dv/dt est un coup négative, un coup positive ? et la vitesse si "faible" ? merci encore pour votre aide.
Les changements de signe de dv/dt (donc de l'accélération) sont ici uniquement dus à la grande grande valeur prise pour delta t.
La vitesse trouvée ainsi, oscille autour de la vraie valeur moyenne de la vitesse finale et c'est pourquoi il y a des changements de signe de l'accélération dans le tableau.
Si tu recommences la méthode d'Euler en prenant des delta t beaucoup plus petits, ces oscillations disparaîtrons (mais il faudra beaucoup plus de calculs pour couvrir les 7 secondes)...
Je n'ai pas répondu à toutes tes sous-question.
La faible valeur finale de la vitesse n'est pas due à la grande valeur de delta t dans la méthode d'Euler mais bien au rapport k/m qui n'est pas celui auquel on peut s'attendre en général dans un cas pratique.
Bonjour,
J'ai le même exo à faire, sauf que mon prof a changé une donnée.
Vous trouvez la valeur de k = 5.10^-3 bizarre? Mon prof l'a remplacé par k = 2.10^-4, est-ce que ça vous semble plus juste?
Merci
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