Je vous prie de m'excuser pour les erreurs commises dans mon message précédent.
Bonjour !
4))Calculer la vitesse limite de la bille et tracer l'allure de v(t) pour t [0, t1[ [t1, [.
5)Quelle devrait être la hauteur de lâché, notée h1 pour que dès la surface libre, la bille évolue dans l'eau avec un mouvement rectiligne uniforme.

Pour mon travail,
1) Après application de la RFD et projection sur l'axe d'étude, j'obtiens (vecteur accélération) = gk(vecteur k) et après intégrations,
z(t) = gt²/2
mais je n'arrive pas à utiliser la vitesse de propagation pour achever.
2) l'expression de la vitesse est v(t) = gt mais même problème que précédemment.
3) Après application de la RFD et du TCI et projection sur (oz) j'obtiens l'equadiff :
mdv/dt - 0.003v = mg et apèrs résolution, V(t) = (mg/0.003)(exp(0.003t/m) -1)
4) la vitesse limite étant obtenue en calculant la limite quand  t de l'expression obtenue en 3) je trouve V_l = mg/0.003. Pas de difficultés pour l'allure.
5) Si le mvt est rectiligne uniforme alors V = cste = V(t=0) = 0 donc h₁ = cste = h₀ mais je n'arrive pas à achever.
Merci encore.

Bonjour,

1- Pour entendre le bruit, il faut que la bille ait touché le fond, créé du bruit et que ce bruit remonte jusqu'en haut. Il faut maintenant traduire cette phrase en formule.
2- Dépend de 1
3- Résolution correcte, mais pas de prise en compte correcte des conditions initiales : avec votre formule on trouve v(t=0)=0.
4- OK
5- C'est quoi h1 et h0 ? C'est en fait le même problème que pour la 3 : quelle est la vitesse de la bille en entrant dans l'eau ?

Je  tiens avant tout à m'excuser du retard du message.
1)Après réflexion, je pense le temps  t donné dans l'exercice correspond à réalité à un temps t = t₁ + t_c où t₁ réprésente le temps réel et t_c celui correspondant à la célérité. Avec t_c =
Après substitution dans l'expression de z j'obtiens z = .
Mais après développements j'arrive à c²h² + gcth + 1/h = 0.5gt² avec h = 1/z mais je ne parviens pas à continuer.
2) pour la vitesse V = gt₁ avec t₁ = t - t_c ayant la donnée de z ce ne sera plus un problème.
3)J'ai en effet commis une erreur la vitesse est au contraire V₁ = V(t=t₁)=V calculé en  2.
5) De même on a plutôt  h₁ = 0.5V₁t₁.
Merci déjà.

1- t_C=z/c plutôt que l'inverse.
Pour résoudre, prendre comme variable , cela donne une équation de second degré en u.
2- OK
3- C'est bien cela, ne pas hésiter pour alléger à prendre une variable t'=t-t₁.
5- Je ne vois le rapport entre la question et votre réponse.

Bonjour !
Compris pour les questions 1 à 3.
Pour la question 5 je n'arrive pas à trouver l'expression de h₁

La vitesse dans l'eau tend vers une vitesse limite, le seul moyen d'avoir une vitesse constante est que à l'entrée dans l'eau, la vitesse soit cette vitesse limite que vous avez calculée en 4.
La vitesse à l'entrée dans l'eau est connue en fonction de la hauteur de chute, soit par manipulation de vos expressions pour avoir v(h), soit par théorème de l'énergie cinétique.
Il n'y a plus qu'à égaler les deux.

Merci beaucoup pour ces explications. Voici ce qu'il en résulte pour la question 5:
La vitesse limite est donné par : V₁ = . Or, en dérivant z(t), on retrouve l'expression de la vitesse de la bille à l'entrée dans l'eau V' =gt
En égalisant, on obtient :
on obtient finalement l'expression de t = . Avec la donnée de m, je peux calculer t et ensuite remplacer dans z(t) =
Merci beaucoup pour tout.

C'est plutot t =

Bien compris.
Juste une remarque, évitez le mélange littéral/numérique. Une écriture littérale permet de comprendre ce que l'on manipule; et on fait l'AN à la fin.

Compris  !
Encore merci beaucoup pour tout.