Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths supForum Supérieur de maths sup PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau maths sup
Partager :

Etude du mouvement d'un point matériel

Posté par
teyo 28-01-20 à 02:02

Bonjour et merci déjà pour l'attention accordée à mon message.
Exercice : Un point matériel M décrit la courbe d'équation : rcos²(/2) = a, a une constante positive, et variant de - à .
1. Montrer à partir de son équatoion cartésienne, que la trajectoire de M est une parabole.
2.On suppose de plus, que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r c'est à dire que : V = Kr avec K constante positive. Calculer en fonction de les composantes radiale et ortho radiale du vecteur vitesse de M.
3. Déterminer la loi du mouvcement = (t) en supposant que est nul à l'instant initial et que croit.
On donne : \int_{0}^{\theta }{\frac{d\theta }{cos\theta }} = Log\mid tan(\frac{\theta }{2} + \frac{\pi }{4 }\mid

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 28-01-20 à 02:07

Pour la question 1. j'ai remplacé r par et obtenu : x² + y² = (a/cos(/2))² qui est bien l'équation d'une parabole.
Pour la 2 nous somme en repérage polaire donc z = 0. Et v = (r²(point) + (r(ponit))² = Kr mais lorsque j'élève au carré et égalise je n'arrive plus à continuer...

Posté par
gts2re : Etude du mouvement d'un point matériel 28-01-20 à 03:57

Bonjour,

Pour la 1, est une variable ! Il faut passer de la représentation (r,) à (x,y)

Pour la 2, on connait V et la direction de \vec{V} : tangente à la courbe en polaire.

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 29-01-20 à 06:05

Bonjour !
Je n'arrive toujours pas à continuer...

Posté par
gts2re : Etude du mouvement d'un point matériel 29-01-20 à 08:31

Bonjour,

Pour 1 j'ai réécrit (mais il y a peut-être une astuce que je n'ai pas vu) r(1+\cos(\theta))=2a, r^2=x^2+y^2, \cos(\theta)=\frac{x}{r} ce qui me donne y^2=4a(x+a) (à vérifier, mais cela ressemble à une parabole)

Pour 2 \vec{V}=Kr \vec{t}=\dot\theta(t)\left(r\vec{u_\theta}+\frac{dr}{d\theta}\vec{u_r}\right), \vec{t}, vecteur unitaire peut s'écrire comme \frac{\vec{V}}{norme de\vec{V} }, je dois reconnaitre que cela donne deux expressions plutôt compliquées (erreur de calcul ? simplification non vue ?)

Pour le 3, il "suffit" de prendre la composante orthoradiale et d'intégrer, mais dans mon expression compliquée, je ne retrouve pas l'aide proposée.

Posté par
gts2re : Etude du mouvement d'un point matériel 29-01-20 à 11:49

Bonjour,

Après avoir repris mes calculs, la composante sur \vec{u_\theta} vaut \frac{K a}{\cos(\theta/2)}, soit une équation différentielle \dot \theta=K \cdot cos(\theta/2) de forme correspondant à l'aide.

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 29-01-20 à 18:53

gts2 @ 29-01-2020 à 11:49

Bonjour,

Après avoir repris mes calculs, la composante sur \vec{u_\theta} vaut \frac{K a}{\cos(\theta/2)}, soit une équation différentielle \dot \theta=K \cdot cos(\theta/2) de forme correspondant à l'aide.

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 29-01-20 à 18:53

teyo @ 28-01-2020 à 02:07

Pour la question 1. j'ai remplacé r par et obtenu : x² + y² = (a/cos(/2))² qui est bien l'équation d'une parabole.
Pour la 2 nous somme en repérage polaire donc z = 0. Et v = (r²(point) + (r(ponit))² = Kr mais lorsque j'élève au carré et égalise je n'arrive plus à continuer...

Je m'excuse pour l'erreur il ne s'agissait pas de l'équation d'une parabole...

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 12:59

gts2 @ 29-01-2020 à 08:31

Bonjour,

Pour 1 j'ai réécrit (mais il y a peut-être une astuce que je n'ai pas vu) r(1+\cos(\theta))=2a, r^2=x^2+y^2, \cos(\theta)=\frac{x}{r} ce qui me donne y^2=4a(x+a) (à vérifier, mais cela ressemble à une parabole)

Pour 2 \vec{V}=Kr \vec{t}=\dot\theta(t)\left(r\vec{u_\theta}+\frac{dr}{d\theta}\vec{u_r}\right), \vec{t}, vecteur unitaire peut s'écrire comme \frac{\vec{V}}{norme de\vec{V} }, je dois reconnaitre que cela donne deux expressions plutôt compliquées (erreur de calcul ? simplification non vue ?)

Pour le 3, il "suffit" de prendre la composante orthoradiale et d'intégrer, mais dans mon expression compliquée, je ne retrouve pas l'aide proposée.
gts2 @ 29-01-2020 à 08:31

Bonjour,

Pour 1 j'ai réécrit (mais il y a peut-être une astuce que je n'ai pas vu) r(1+\cos(\theta))=2a, r^2=x^2+y^2, \cos(\theta)=\frac{x}{r} ce qui me donne y^2=4a(x+a) (à vérifier, mais cela ressemble à une parabole)

Pour 2 \vec{V}=Kr \vec{t}=\dot\theta(t)\left(r\vec{u_\theta}+\frac{dr}{d\theta}\vec{u_r}\right), \vec{t}, vecteur unitaire peut s'écrire comme \frac{\vec{V}}{norme de\vec{V} }, je dois reconnaitre que cela donne deux expressions plutôt compliquées (erreur de calcul ? simplification non vue ?)

Pour le 3, il "suffit" de prendre la composante orthoradiale et d'intégrer, mais dans mon expression compliquée, je ne retrouve pas l'aide proposée.

Bonsoir s'il vous plait comment retrouver les vitesses radiales et orthoradiales à partir de cette expression de V car j'ai bien essayé d'identifier en fonctions des vecteurs de base mais la présence du vecteur t m'empêche de le faire.

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 13:04

gts2 @ 29-01-2020 à 11:49

Bonjour,

Après avoir repris mes calculs, la composante sur \vec{u_\theta} vaut \frac{K a}{\cos(\theta/2)}, soit une équation différentielle \dot \theta=K \cdot cos(\theta/2) de forme correspondant à l'aide.
gts2 @ 29-01-2020 à 11:49

Bonjour,

Après avoir repris mes calculs, la composante sur \vec{u_\theta} vaut \frac{K a}{\cos(\theta/2)}, soit une équation différentielle \dot \theta=K \cdot cos(\theta/2) de forme correspondant à l'aide.
gts2 @ 29-01-2020 à 11:49

Bonjour,

Après avoir repris mes calculs, la composante sur \vec{u_\theta} vaut \frac{K a}{\cos(\theta/2)}, soit une équation différentielle \dot \theta=K \cdot cos(\theta/2) de forme correspondant à l'aide.

Aussi, je ne comprends pas comment vous faitespour passer de la connaissance de composante suivant U à l'équation différentielle en .
Merci déjà pour votre aide

Posté par
krinn Correcteurre : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 14:11

Bonjour ,
comme gts2 te l'a expliqué, on cherche les composante de en polaires, donc il faut calculer:
r'
et r'

r'= dr/dt = ... = r' tg (/2)

Pour trouver r ' il faut utiliser l'info supplementaire :
|||| = Kr

donc en élevant au carré

r'2 + r2'2 = K2 r2

On en déduit: r' = Kr cos(/2) en remplaçant r' par la valeur trouvée précédemment

Donc '=...

On en déduit r' et r' en fct de

Posté par
gts2re : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 17:54

Bonjour,

"Aussi, je ne comprends pas comment vous faites pour passer de la connaissance de composante suivant u_\theta à l'équation différentielle en \dot \theta.

Notons f(\theta,r) la composante orthoradiale que vous avez calculée en 2. On sait que cette composante vaut r \dot \theta , donc on obtient f(\theta,r)=r \dot \theta et comme on connait r(\theta), cela fait bien une EDO en \theta(t)

Posté par
gts2re : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 18:33

Bonjour,

"comment retrouver les vitesses radiales et orthoradiales"
Le vecteur vitesse est \vec{v}=Kr\vec{t} si \vec{t} désigne le vecteur unitaire tangent à la courbe.
Les mathématiciens connaissent \vec{t}, donc voir votre cours de maths, mais on peut le retrouver à partir de la cinématique, puisque le vecteur vitesse est tangent \vec{t}=\frac{\vec{v}}{\mid \vec{v} \mid}  avec \vec{v}=\dot \theta (\frac{dr}{d\theta}\vec{u_r}+r\vec{u_\theta}) , expression usuelle de la vitesse dans laquelle on a tenu compte de r(\theta). On obtient qqch de la forme \vec{t}=\alpha\vec{u_r}+\beta\vec{u_\theta}. La composante radiale est Kr \alpha et ortohradiale  Kr \beta. Mais je répète vous pouvez aller plus vite à l'aide de votre cours de maths.

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 23:27

krinn @ 31-01-2020 à 14:11

Bonjour ,
comme gts2 te l'a expliqué, on cherche les composante de en polaires, donc il faut calculer:
r'
et r'

r'= dr/dt = ... = r' tg (/2)

Pour trouver r ' il faut utiliser l'info supplementaire :
|||| = Kr

donc en élevant au carré

r'2 + r2'2 = K2 r2

On en déduit: r' = Kr cos(/2) en remplaçant r' par la valeur trouvée précédemment

Donc '=...

On en déduit r' et r' en fct de

Merci beaucoup pour ces explications tout à été bien compris.

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 23:28

gts2 @ 31-01-2020 à 17:54

Bonjour,

"Aussi, je ne comprends pas comment vous faites pour passer de la connaissance de composante suivant u_\theta à l'équation différentielle en \dot \theta.

Notons f(\theta,r) la composante orthoradiale que vous avez calculée en 2. On sait que cette composante vaut r \dot \theta , donc on obtient f(\theta,r)=r \dot \theta et comme on connait r(\theta), cela fait bien une EDO en \theta(t)

Merci beaucoup à vous  gts2 pour ces explications tout a été bien compris.

Posté par
teyore : Etude du mouvement d'un point matériel 31-01-20 à 23:31

teyoteyoteyoteyoteyoteyoteyoteyoteyoteyoteyoteyo

gts2 @ 31-01-2020 à 18:33

Bonjour,

"comment retrouver les vitesses radiales et orthoradiales"
Le vecteur vitesse est \vec{v}=Kr\vec{t} si \vec{t} désigne le vecteur unitaire tangent à la courbe.
Les mathématiciens connaissent \vec{t}, donc voir votre cours de maths, mais on peut le retrouver à partir de la cinématique, puisque le vecteur vitesse est tangent \vec{t}=\frac{\vec{v}}{\mid \vec{v} \mid}  avec \vec{v}=\dot \theta (\frac{dr}{d\theta}\vec{u_r}+r\vec{u_\theta}) , expression usuelle de la vitesse dans laquelle on a tenu compte de r(\theta). On obtient qqch de la forme \vec{t}=\alpha\vec{u_r}+\beta\vec{u_\theta}. La composante radiale est Kr \alpha et ortohradiale  Kr \beta. Mais je répète vous pouvez aller plus vite à l'aide de votre cours de maths.

Merci beaucoup de m'avoir encore expliqué je vais essayer de retrouver le résultat en utilisant des méthodes apprissent mathématiques


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2025

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !